Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53841 / 13551
↖ ↑ ↗
← N 80.539748°
W 32.121277°		 ← 50.20 m → N 80.539748°
W 32.118530°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
N 80.539297°
W 32.121277°		 ← 50.20 m →
2 520 m²		 N 80.539297°
W 32.118530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410778045654297 y=0.103389739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410778045654297 × 217)
    floor (0.410778045654297 × 131072)
    floor (53841.5)     		tx = 53841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103389739990234 × 217)
    floor (0.103389739990234 × 131072)
    floor (13551.5)     		ty = 13551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53841 / 13551 ti = "17/53841/13551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53841/13551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53841 ÷ 217
    53841 ÷ 131072     		x = 0.410774230957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13551 ÷ 217
    13551 ÷ 131072     		y = 0.103385925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410774230957031 × 2 - 1) × π
    -0.178451538085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.56062204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103385925292969 × 2 - 1) × π
    0.793228149414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.49199972674862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56062204} λ = -0.56062204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49199972674862))-π/2
    2×atan(12.0854195089696)-π/2
    2×1.4882400596678-π/2
    2.97648011933559-1.57079632675     		φ = 1.40568379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56062204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.121277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40568379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.539748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53841 KachelY 13551 -0.56062204 1.40568379 -32.121277 80.539748
    Oben rechts KachelX + 1 53842 KachelY 13551 -0.56057410 1.40568379 -32.118530 80.539748
    Unten links KachelX 53841 KachelY + 1 13552 -0.56062204 1.40567591 -32.121277 80.539297
    Unten rechts KachelX + 1 53842 KachelY + 1 13552 -0.56057410 1.40567591 -32.118530 80.539297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40568379-1.40567591) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dl = 50.2034800004534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40568379-1.40567591) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dr = 50.2034800004534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56062204--0.56057410) × cos(1.40568379) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.164363338310295 × 6371000     		do = 50.2007942323756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56062204--0.56057410) × cos(1.40567591) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.164371111136126 × 6371000     		du = 50.2031682534568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40568379)-sin(1.40567591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164363338310295-0.164371111136126)×R²
    abs(-0.56057410--0.56062204)×7.77282583055983e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.77282583055983e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.77282583055983e-06×40589641000000     		ar = 2520.31416129727m²