Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53840 / 12504
↖ ↑ ↗
← N 81.000890°
W 32.124024°		 ← 47.77 m → N 81.000890°
W 32.121277°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 81.000460°
W 32.124024°		 ← 47.78 m →
2 283 m²		 N 81.000460°
W 32.121277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410770416259766 y=0.0954017639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410770416259766 × 217)
    floor (0.410770416259766 × 131072)
    floor (53840.5)     		tx = 53840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954017639160156 × 217)
    floor (0.0954017639160156 × 131072)
    floor (12504.5)     		ty = 12504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53840 / 12504 ti = "17/53840/12504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53840/12504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53840 ÷ 217
    53840 ÷ 131072     		x = 0.4107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12504 ÷ 217
    12504 ÷ 131072     		y = 0.09539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56066998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09539794921875 × 2 - 1) × π
    0.8092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54218966065082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56066998} λ = -0.56066998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54218966065082))-π/2
    2×atan(12.7074655666851)-π/2
    2×1.49226427114771-π/2
    2.98452854229542-1.57079632675     		φ = 1.41373222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56066998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.124024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41373222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.000890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53840 KachelY 12504 -0.56066998 1.41373222 -32.124024 81.000890
    Oben rechts KachelX + 1 53841 KachelY 12504 -0.56062204 1.41373222 -32.121277 81.000890
    Unten links KachelX 53840 KachelY + 1 12505 -0.56066998 1.41372472 -32.124024 81.000460
    Unten rechts KachelX + 1 53841 KachelY + 1 12505 -0.56062204 1.41372472 -32.121277 81.000460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41373222-1.41372472) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41373222-1.41372472) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56066998--0.56062204) × cos(1.41373222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156419130286187 × 6371000     		do = 47.7744286177837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56066998--0.56062204) × cos(1.41372472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156426537962557 × 6371000     		du = 47.7766911128207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41373222)-sin(1.41372472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156419130286187-0.156426537962557)×R²
    abs(-0.56062204--0.56066998)×7.40767637003037e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40767637003037e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40767637003037e-06×40589641000000     		ar = 2282.83568923758m²