Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5384 / 7467
↖ ↑ ↗
← N 69.492222°
W120.849609°		 ← 427.96 m → N 69.492222°
W120.838623°		 →
↑
428 m
↓
↑
428 m
↓
N 69.488372°
W120.849609°		 ← 428.04 m →
183 185 m²		 N 69.488372°
W120.838623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164321899414062 y=0.227890014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164321899414062 × 215)
    floor (0.164321899414062 × 32768)
    floor (5384.5)     		tx = 5384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227890014648438 × 215)
    floor (0.227890014648438 × 32768)
    floor (7467.5)     		ty = 7467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5384 / 7467 ti = "15/5384/7467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5384/7467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5384 ÷ 215
    5384 ÷ 32768     		x = 0.164306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7467 ÷ 215
    7467 ÷ 32768     		y = 0.227874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.67138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10922358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227874755859375 × 2 - 1) × π
    0.54425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70981333564816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10922358} λ = -2.10922358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70981333564816))-π/2
    2×atan(5.52792951393186)-π/2
    2×1.39183219941848-π/2
    2.78366439883696-1.57079632675     		φ = 1.21286807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10922358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.849609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21286807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.492222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5384 KachelY 7467 -2.10922358 1.21286807 -120.849609 69.492222
    Oben rechts KachelX + 1 5385 KachelY 7467 -2.10903184 1.21286807 -120.838623 69.492222
    Unten links KachelX 5384 KachelY + 1 7468 -2.10922358 1.21280089 -120.849609 69.488372
    Unten rechts KachelX + 1 5385 KachelY + 1 7468 -2.10903184 1.21280089 -120.838623 69.488372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21286807-1.21280089) × R
    6.71800000000555e-05 × 6371000     		dl = 428.003780000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21286807-1.21280089) × R
    6.71800000000555e-05 × 6371000     		dr = 428.003780000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10922358--2.10903184) × cos(1.21286807) × R
    0.000191739999999996 × 0.350334540775628 × 6371000     		do = 427.960105828631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10922358--2.10903184) × cos(1.21280089) × R
    0.000191739999999996 × 0.350397462428099 × 6371000     		du = 428.036969380225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21286807)-sin(1.21280089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350334540775628-0.350397462428099)×R²
    abs(-2.10903184--2.10922358)×6.29216524705156e-05×R²
    0.000191739999999996×6.29216524705156e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.29216524705156e-05×40589641000000     		ar = 183184.991998784m²