Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53839 / 13515
↖ ↑ ↗
← N 80.555987°
W 32.126770°		 ← 50.10 m → N 80.555987°
W 32.124024°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
N 80.555536°
W 32.126770°		 ← 50.11 m →
2 512 m²		 N 80.555536°
W 32.124024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410762786865234 y=0.103115081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410762786865234 × 217)
    floor (0.410762786865234 × 131072)
    floor (53839.5)     		tx = 53839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103115081787109 × 217)
    floor (0.103115081787109 × 131072)
    floor (13515.5)     		ty = 13515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53839 / 13515 ti = "17/53839/13515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53839/13515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53839 ÷ 217
    53839 ÷ 131072     		x = 0.410758972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13515 ÷ 217
    13515 ÷ 131072     		y = 0.103111267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410758972167969 × 2 - 1) × π
    -0.178482055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.56071791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103111267089844 × 2 - 1) × π
    0.793777465820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.49372545513494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56071791} λ = -0.56071791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49372545513494))-π/2
    2×atan(12.1062936668597)-π/2
    2×1.48838176226161-π/2
    2.97676352452322-1.57079632675     		φ = 1.40596720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56071791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.126770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40596720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.555987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53839 KachelY 13515 -0.56071791 1.40596720 -32.126770 80.555987
    Oben rechts KachelX + 1 53840 KachelY 13515 -0.56066998 1.40596720 -32.124024 80.555987
    Unten links KachelX 53839 KachelY + 1 13516 -0.56071791 1.40595933 -32.126770 80.555536
    Unten rechts KachelX + 1 53840 KachelY + 1 13516 -0.56066998 1.40595933 -32.124024 80.555536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40596720-1.40595933) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dl = 50.1397700008406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40596720-1.40595933) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dr = 50.1397700008406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56071791--0.56066998) × cos(1.40596720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164083776127459 × 6371000     		do = 50.1049549683771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56071791--0.56066998) × cos(1.40595933) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164091539455603 × 6371000     		du = 50.1073255940187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40596720)-sin(1.40595933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164083776127459-0.164091539455603)×R²
    abs(-0.56066998--0.56071791)×7.7633281438394e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.7633281438394e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.7633281438394e-06×40589641000000     		ar = 2512.31034950078m²