Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53838 / 21810
↖ ↑ ↗
← N 51.447160°
E115.740967°		 ← 380.66 m → N 51.447160°
E115.746460°		 →
↑
380.73 m
↓
↑
380.73 m
↓
N 51.443736°
E115.740967°		 ← 380.69 m →
144 936 m²		 N 51.443736°
E115.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821510314941406 y=0.332801818847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821510314941406 × 216)
    floor (0.821510314941406 × 65536)
    floor (53838.5)     		tx = 53838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332801818847656 × 216)
    floor (0.332801818847656 × 65536)
    floor (21810.5)     		ty = 21810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53838 / 21810 ti = "16/53838/21810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53838/21810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53838 ÷ 216
    53838 ÷ 65536     		x = 0.821502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21810 ÷ 216
    21810 ÷ 65536     		y = 0.332794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821502685546875 × 2 - 1) × π
    0.64300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02006095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332794189453125 × 2 - 1) × π
    0.33441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05058509207315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02006095} λ = 2.02006095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05058509207315))-π/2
    2×atan(2.85932359630934)-π/2
    2×1.23435933281623-π/2
    2.46871866563245-1.57079632675     		φ = 0.89792234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02006095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89792234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.447160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53838 KachelY 21810 2.02006095 0.89792234 115.740967 51.447160
    Oben rechts KachelX + 1 53839 KachelY 21810 2.02015682 0.89792234 115.746460 51.447160
    Unten links KachelX 53838 KachelY + 1 21811 2.02006095 0.89786258 115.740967 51.443736
    Unten rechts KachelX + 1 53839 KachelY + 1 21811 2.02015682 0.89786258 115.746460 51.443736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89792234-0.89786258) × R
    5.97600000000753e-05 × 6371000     		dl = 380.73096000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89792234-0.89786258) × R
    5.97600000000753e-05 × 6371000     		dr = 380.73096000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02006095-2.02015682) × cos(0.89792234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623236112444431 × 6371000     		do = 380.664995303395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02006095-2.02015682) × cos(0.89786258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623282845666983 × 6371000     		du = 380.693539384183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89792234)-sin(0.89786258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623236112444431-0.623282845666983)×R²
    abs(2.02015682-2.02006095)×4.67332225522199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67332225522199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67332225522199e-05×40589641000000     		ar = 144936.382951537m²