Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53838 / 13552
↖ ↑ ↗
← N 80.539297°
W 32.129517°		 ← 50.20 m → N 80.539297°
W 32.126770°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
N 80.538846°
W 32.129517°		 ← 50.21 m →
2 520 m²		 N 80.538846°
W 32.126770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410755157470703 y=0.103397369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410755157470703 × 217)
    floor (0.410755157470703 × 131072)
    floor (53838.5)     		tx = 53838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103397369384766 × 217)
    floor (0.103397369384766 × 131072)
    floor (13552.5)     		ty = 13552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53838 / 13552 ti = "17/53838/13552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53838/13552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53838 ÷ 217
    53838 ÷ 131072     		x = 0.410751342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13552 ÷ 217
    13552 ÷ 131072     		y = 0.1033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410751342773438 × 2 - 1) × π
    -0.178497314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56076585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1033935546875 × 2 - 1) × π
    0.793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.491951789849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56076585} λ = -0.56076585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.491951789849))-π/2
    2×atan(12.0848401853133)-π/2
    2×1.48823612004029-π/2
    2.97647224008058-1.57079632675     		φ = 1.40567591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56076585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.129517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40567591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.539297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53838 KachelY 13552 -0.56076585 1.40567591 -32.129517 80.539297
    Oben rechts KachelX + 1 53839 KachelY 13552 -0.56071791 1.40567591 -32.126770 80.539297
    Unten links KachelX 53838 KachelY + 1 13553 -0.56076585 1.40566803 -32.129517 80.538846
    Unten rechts KachelX + 1 53839 KachelY + 1 13553 -0.56071791 1.40566803 -32.126770 80.538846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40567591-1.40566803) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dl = 50.2034800004534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40567591-1.40566803) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dr = 50.2034800004534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56076585--0.56071791) × cos(1.40567591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164371111136126 × 6371000     		do = 50.2031682533405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56076585--0.56071791) × cos(1.40566803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16437888395175 × 6371000     		du = 50.2055422713044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40567591)-sin(1.40566803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164371111136126-0.16437888395175)×R²
    abs(-0.56071791--0.56076585)×7.77281562405752e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.77281562405752e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.77281562405752e-06×40589641000000     		ar = 2520.43334546287m²