Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53836 / 11092
↖ ↑ ↗
← N 81.587667°
W 32.135010°		 ← 44.68 m → N 81.587667°
W 32.132263°		 →
↑
44.66 m
↓
↑
44.66 m
↓
N 81.587265°
W 32.135010°		 ← 44.68 m →
1 996 m²		 N 81.587265°
W 32.132263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410739898681641 y=0.0846290588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410739898681641 × 217)
    floor (0.410739898681641 × 131072)
    floor (53836.5)     		tx = 53836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0846290588378906 × 217)
    floor (0.0846290588378906 × 131072)
    floor (11092.5)     		ty = 11092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53836 / 11092 ti = "17/53836/11092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53836/11092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53836 ÷ 217
    53836 ÷ 131072     		x = 0.410736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11092 ÷ 217
    11092 ÷ 131072     		y = 0.084625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.17852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56086173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084625244140625 × 2 - 1) × π
    0.83074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60987656291434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56086173} λ = -0.56086173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60987656291434))-π/2
    2×atan(13.5973723282242)-π/2
    2×1.49738486787092-π/2
    2.99476973574185-1.57079632675     		φ = 1.42397341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56086173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.135010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42397341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.587667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53836 KachelY 11092 -0.56086173 1.42397341 -32.135010 81.587667
    Oben rechts KachelX + 1 53837 KachelY 11092 -0.56081379 1.42397341 -32.132263 81.587667
    Unten links KachelX 53836 KachelY + 1 11093 -0.56086173 1.42396640 -32.135010 81.587265
    Unten rechts KachelX + 1 53837 KachelY + 1 11093 -0.56081379 1.42396640 -32.132263 81.587265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42397341-1.42396640) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dl = 44.6607100001879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42397341-1.42396640) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dr = 44.6607100001879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56086173--0.56081379) × cos(1.42397341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146295975570028 × 6371000     		do = 44.6825565974683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56086173--0.56081379) × cos(1.42396640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146302910144892 × 6371000     		du = 44.6846745951277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42397341)-sin(1.42396640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146295975570028-0.146302910144892)×R²
    abs(-0.56081379--0.56086173)×6.93457486397597e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.93457486397597e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.93457486397597e-06×40589641000000     		ar = 1995.60199788697m²