Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53834 / 18762
↖ ↑ ↗
← N 77.873045°
W 32.140503°		 ← 64.16 m → N 77.873045°
W 32.137756°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.872468°
W 32.140503°		 ← 64.17 m →
4 121 m²		 N 77.872468°
W 32.137756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410724639892578 y=0.143146514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410724639892578 × 217)
    floor (0.410724639892578 × 131072)
    floor (53834.5)     		tx = 53834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143146514892578 × 217)
    floor (0.143146514892578 × 131072)
    floor (18762.5)     		ty = 18762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53834 / 18762 ti = "17/53834/18762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53834/18762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53834 ÷ 217
    53834 ÷ 131072     		x = 0.410720825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18762 ÷ 217
    18762 ÷ 131072     		y = 0.143142700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410720825195312 × 2 - 1) × π
    -0.178558349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56095760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143142700195312 × 2 - 1) × π
    0.713714599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24220054282851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56095760} λ = -0.56095760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24220054282851))-π/2
    2×atan(9.41402447501554)-π/2
    2×1.46496868115424-π/2
    2.92993736230848-1.57079632675     		φ = 1.35914104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56095760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.140503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35914104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.873045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53834 KachelY 18762 -0.56095760 1.35914104 -32.140503 77.873045
    Oben rechts KachelX + 1 53835 KachelY 18762 -0.56090966 1.35914104 -32.137756 77.873045
    Unten links KachelX 53834 KachelY + 1 18763 -0.56095760 1.35913096 -32.140503 77.872468
    Unten rechts KachelX + 1 53835 KachelY + 1 18763 -0.56090966 1.35913096 -32.137756 77.872468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35914104-1.35913096) × R
    1.00799999998014e-05 × 6371000     		dl = 64.2196799987345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35914104-1.35913096) × R
    1.00799999998014e-05 × 6371000     		dr = 64.2196799987345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56095760--0.56090966) × cos(1.35914104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210078535177616 × 6371000     		do = 64.1633920646974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56095760--0.56090966) × cos(1.35913096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210088390226845 × 6371000     		du = 64.1664020504008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35914104)-sin(1.35913096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210078535177616-0.210088390226845)×R²
    abs(-0.56090966--0.56095760)×9.85504922881852e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.85504922881852e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.85504922881852e-06×40589641000000     		ar = 4120.64915615118m²