Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53834 / 18729
↖ ↑ ↗
← N 77.892072°
W 32.140503°		 ← 64.06 m → N 77.892072°
W 32.137756°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.891495°
W 32.140503°		 ← 64.07 m →
4 106 m²		 N 77.891495°
W 32.137756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410724639892578 y=0.142894744873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410724639892578 × 217)
    floor (0.410724639892578 × 131072)
    floor (53834.5)     		tx = 53834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142894744873047 × 217)
    floor (0.142894744873047 × 131072)
    floor (18729.5)     		ty = 18729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53834 / 18729 ti = "17/53834/18729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53834/18729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53834 ÷ 217
    53834 ÷ 131072     		x = 0.410720825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18729 ÷ 217
    18729 ÷ 131072     		y = 0.142890930175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410720825195312 × 2 - 1) × π
    -0.178558349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56095760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142890930175781 × 2 - 1) × π
    0.714218139648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.24378246051597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56095760} λ = -0.56095760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24378246051597))-π/2
    2×atan(9.42892847218307)-π/2
    2×1.46513471620057-π/2
    2.93026943240114-1.57079632675     		φ = 1.35947311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56095760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.140503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35947311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.892072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53834 KachelY 18729 -0.56095760 1.35947311 -32.140503 77.892072
    Oben rechts KachelX + 1 53835 KachelY 18729 -0.56090966 1.35947311 -32.137756 77.892072
    Unten links KachelX 53834 KachelY + 1 18730 -0.56095760 1.35946305 -32.140503 77.891495
    Unten rechts KachelX + 1 53835 KachelY + 1 18730 -0.56090966 1.35946305 -32.137756 77.891495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35947311-1.35946305) × R
    1.00599999999229e-05 × 6371000     		dl = 64.0922599995089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35947311-1.35946305) × R
    1.00599999999229e-05 × 6371000     		dr = 64.0922599995089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56095760--0.56090966) × cos(1.35947311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209753863904264 × 6371000     		do = 64.0642291007771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56095760--0.56090966) × cos(1.35946305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209763700101112 × 6371000     		du = 64.0672333284783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35947311)-sin(1.35946305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209753863904264-0.209763700101112)×R²
    abs(-0.56090966--0.56095760)×9.83619684855053e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.83619684855053e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.83619684855053e-06×40589641000000     		ar = 4106.11750209896m²