Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53833 / 12473
↖ ↑ ↗
← N 81.014198°
W 32.143250°		 ← 47.70 m → N 81.014198°
W 32.140503°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
N 81.013769°
W 32.143250°		 ← 47.71 m →
2 276 m²		 N 81.013769°
W 32.140503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410717010498047 y=0.0951652526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410717010498047 × 217)
    floor (0.410717010498047 × 131072)
    floor (53833.5)     		tx = 53833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0951652526855469 × 217)
    floor (0.0951652526855469 × 131072)
    floor (12473.5)     		ty = 12473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53833 / 12473 ti = "17/53833/12473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53833/12473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53833 ÷ 217
    53833 ÷ 131072     		x = 0.410713195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12473 ÷ 217
    12473 ÷ 131072     		y = 0.0951614379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410713195800781 × 2 - 1) × π
    -0.178573608398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.56100554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0951614379882812 × 2 - 1) × π
    0.809677124023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.54367570453904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56100554} λ = -0.56100554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54367570453904))-π/2
    2×atan(12.7263634562942)-π/2
    2×1.49238040874481-π/2
    2.98476081748962-1.57079632675     		φ = 1.41396449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56100554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.143250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41396449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.014198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53833 KachelY 12473 -0.56100554 1.41396449 -32.143250 81.014198
    Oben rechts KachelX + 1 53834 KachelY 12473 -0.56095760 1.41396449 -32.140503 81.014198
    Unten links KachelX 53833 KachelY + 1 12474 -0.56100554 1.41395700 -32.143250 81.013769
    Unten rechts KachelX + 1 53834 KachelY + 1 12474 -0.56095760 1.41395700 -32.140503 81.013769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41396449-1.41395700) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41396449-1.41395700) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56100554--0.56095760) × cos(1.41396449) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.156189715133919 × 6371000     		do = 47.7043593252455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56100554--0.56095760) × cos(1.41395700) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.156197113205322 × 6371000     		du = 47.7066188866785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41396449)-sin(1.41395700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156189715133919-0.156197113205322)×R²
    abs(-0.56095760--0.56100554)×7.39807140373583e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.39807140373583e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.39807140373583e-06×40589641000000     		ar = 2276.44821655013m²