Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53832 / 10825
↖ ↑ ↗
← N 81.694274°
W 32.145996°		 ← 44.11 m → N 81.694274°
W 32.143250°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
N 81.693877°
W 32.145996°		 ← 44.11 m →
1 948 m²		 N 81.693877°
W 32.143250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410709381103516 y=0.0825920104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410709381103516 × 217)
    floor (0.410709381103516 × 131072)
    floor (53832.5)     		tx = 53832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825920104980469 × 217)
    floor (0.0825920104980469 × 131072)
    floor (10825.5)     		ty = 10825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53832 / 10825 ti = "17/53832/10825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53832/10825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53832 ÷ 217
    53832 ÷ 131072     		x = 0.41070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10825 ÷ 217
    10825 ÷ 131072     		y = 0.0825881958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.1785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56105347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0825881958007812 × 2 - 1) × π
    0.834823608398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.62267571511289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56105347} λ = -0.56105347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62267571511289))-π/2
    2×atan(13.7725256822679)-π/2
    2×1.49831519747749-π/2
    2.99663039495499-1.57079632675     		φ = 1.42583407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56105347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.145996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42583407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.694274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53832 KachelY 10825 -0.56105347 1.42583407 -32.145996 81.694274
    Oben rechts KachelX + 1 53833 KachelY 10825 -0.56100554 1.42583407 -32.143250 81.694274
    Unten links KachelX 53832 KachelY + 1 10826 -0.56105347 1.42582714 -32.145996 81.693877
    Unten rechts KachelX + 1 53833 KachelY + 1 10826 -0.56100554 1.42582714 -32.143250 81.693877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42583407-1.42582714) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dl = 44.1510300004562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42583407-1.42582714) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dr = 44.1510300004562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56105347--0.56100554) × cos(1.42583407) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144455082483261 × 6371000     		do = 44.1110972309329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56105347--0.56100554) × cos(1.42582714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144461939793508 × 6371000     		du = 44.1131911931104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42583407)-sin(1.42582714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144455082483261-0.144461939793508)×R²
    abs(-0.56100554--0.56105347)×6.85731024760439e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.85731024760439e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.85731024760439e-06×40589641000000     		ar = 1947.59660257818m²