Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53831 / 20907
↖ ↑ ↗
← N 54.434908°
E115.702514°		 ← 355.29 m → N 54.434908°
E115.708008°		 →
↑
355.25 m
↓
↑
355.25 m
↓
N 54.431713°
E115.702514°		 ← 355.32 m →
126 220 m²		 N 54.431713°
E115.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821403503417969 y=0.319023132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821403503417969 × 216)
    floor (0.821403503417969 × 65536)
    floor (53831.5)     		tx = 53831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319023132324219 × 216)
    floor (0.319023132324219 × 65536)
    floor (20907.5)     		ty = 20907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53831 / 20907 ti = "16/53831/20907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53831/20907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53831 ÷ 216
    53831 ÷ 65536     		x = 0.821395874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20907 ÷ 216
    20907 ÷ 65536     		y = 0.319015502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821395874023438 × 2 - 1) × π
    0.642791748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01938983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319015502929688 × 2 - 1) × π
    0.361968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13715913278697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01938983} λ = 2.01938983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13715913278697))-π/2
    2×atan(3.1178982368487)-π/2
    2×1.26043234934197-π/2
    2.52086469868394-1.57079632675     		φ = 0.95006837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01938983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.702514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95006837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.434908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53831 KachelY 20907 2.01938983 0.95006837 115.702514 54.434908
    Oben rechts KachelX + 1 53832 KachelY 20907 2.01948571 0.95006837 115.708008 54.434908
    Unten links KachelX 53831 KachelY + 1 20908 2.01938983 0.95001261 115.702514 54.431713
    Unten rechts KachelX + 1 53832 KachelY + 1 20908 2.01948571 0.95001261 115.708008 54.431713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95006837-0.95001261) × R
    5.57599999999603e-05 × 6371000     		dl = 355.246959999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95006837-0.95001261) × R
    5.57599999999603e-05 × 6371000     		dr = 355.246959999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01938983-2.01948571) × cos(0.95006837) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.581627474886338 × 6371000     		do = 355.28800384275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01938983-2.01948571) × cos(0.95001261) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.581672832248121 × 6371000     		du = 355.315710454323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95006837)-sin(0.95001261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581627474886338-0.581672832248121)×R²
    abs(2.01948571-2.01938983)×4.53573617829051e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53573617829051e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53573617829051e-05×40589641000000     		ar = 126219.90466687m²