Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53831 / 13912
↖ ↑ ↗
← N 80.375381°
W 32.148743°		 ← 51.06 m → N 80.375381°
W 32.145996°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.374922°
W 32.148743°		 ← 51.07 m →
2 609 m²		 N 80.374922°
W 32.145996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410701751708984 y=0.106143951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410701751708984 × 217)
    floor (0.410701751708984 × 131072)
    floor (53831.5)     		tx = 53831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106143951416016 × 217)
    floor (0.106143951416016 × 131072)
    floor (13912.5)     		ty = 13912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53831 / 13912 ti = "17/53831/13912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53831/13912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53831 ÷ 217
    53831 ÷ 131072     		x = 0.410697937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13912 ÷ 217
    13912 ÷ 131072     		y = 0.10614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410697937011719 × 2 - 1) × π
    -0.178604125976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.56110141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10614013671875 × 2 - 1) × π
    0.7877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47469450598578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56110141} λ = -0.56110141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47469450598578))-π/2
    2×atan(11.8780778770808)-π/2
    2×1.48680568221696-π/2
    2.97361136443392-1.57079632675     		φ = 1.40281504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56110141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.148743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40281504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.375381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53831 KachelY 13912 -0.56110141 1.40281504 -32.148743 80.375381
    Oben rechts KachelX + 1 53832 KachelY 13912 -0.56105347 1.40281504 -32.145996 80.375381
    Unten links KachelX 53831 KachelY + 1 13913 -0.56110141 1.40280702 -32.148743 80.374922
    Unten rechts KachelX + 1 53832 KachelY + 1 13913 -0.56105347 1.40280702 -32.145996 80.374922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40281504-1.40280702) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40281504-1.40280702) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56110141--0.56105347) × cos(1.40281504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167192392708541 × 6371000     		do = 51.0648602653434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56110141--0.56105347) × cos(1.40280702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167200299815963 × 6371000     		du = 51.0672752994788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40281504)-sin(1.40280702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167192392708541-0.167200299815963)×R²
    abs(-0.56105347--0.56110141)×7.90710742137879e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90710742137879e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90710742137879e-06×40589641000000     		ar = 2609.24218115575m²