Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53831 / 10824
↖ ↑ ↗
← N 81.694671°
W 32.148743°		 ← 44.12 m → N 81.694671°
W 32.145996°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.694274°
W 32.148743°		 ← 44.12 m →
1 945 m²		 N 81.694274°
W 32.145996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410701751708984 y=0.0825843811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410701751708984 × 217)
    floor (0.410701751708984 × 131072)
    floor (53831.5)     		tx = 53831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0825843811035156 × 217)
    floor (0.0825843811035156 × 131072)
    floor (10824.5)     		ty = 10824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53831 / 10824 ti = "17/53831/10824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53831/10824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53831 ÷ 217
    53831 ÷ 131072     		x = 0.410697937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10824 ÷ 217
    10824 ÷ 131072     		y = 0.08258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410697937011719 × 2 - 1) × π
    -0.178604125976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.56110141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08258056640625 × 2 - 1) × π
    0.8348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62272365201251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56110141} λ = -0.56110141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62272365201251))-π/2
    2×atan(13.7731859102736)-π/2
    2×1.49831865975982-π/2
    2.99663731951963-1.57079632675     		φ = 1.42584099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56110141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.148743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42584099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.694671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53831 KachelY 10824 -0.56110141 1.42584099 -32.148743 81.694671
    Oben rechts KachelX + 1 53832 KachelY 10824 -0.56105347 1.42584099 -32.145996 81.694671
    Unten links KachelX 53831 KachelY + 1 10825 -0.56110141 1.42583407 -32.148743 81.694274
    Unten rechts KachelX + 1 53832 KachelY + 1 10825 -0.56105347 1.42583407 -32.145996 81.694274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42584099-1.42583407) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42584099-1.42583407) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56110141--0.56105347) × cos(1.42584099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144448235061199 × 6371000     		do = 44.1182090852318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56110141--0.56105347) × cos(1.42583407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144455082483261 × 6371000     		du = 44.120300464182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42584099)-sin(1.42583407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144448235061199-0.144455082483261)×R²
    abs(-0.56105347--0.56110141)×6.84742206130684e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.84742206130684e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.84742206130684e-06×40589641000000     		ar = 1945.09970345375m²