Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53829 / 20912
↖ ↑ ↗
← N 54.418930°
E115.691529°		 ← 355.39 m → N 54.418930°
E115.697022°		 →
↑
355.37 m
↓
↑
355.37 m
↓
N 54.415734°
E115.691529°		 ← 355.42 m →
126 301 m²		 N 54.415734°
E115.697022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821372985839844 y=0.319099426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821372985839844 × 216)
    floor (0.821372985839844 × 65536)
    floor (53829.5)     		tx = 53829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319099426269531 × 216)
    floor (0.319099426269531 × 65536)
    floor (20912.5)     		ty = 20912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53829 / 20912 ti = "16/53829/20912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53829/20912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53829 ÷ 216
    53829 ÷ 65536     		x = 0.821365356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20912 ÷ 216
    20912 ÷ 65536     		y = 0.319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821365356445312 × 2 - 1) × π
    0.642730712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01919809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319091796875 × 2 - 1) × π
    0.36181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13667976379077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01919809} λ = 2.01919809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13667976379077))-π/2
    2×atan(3.11640397128155)-π/2
    2×1.26029291507065-π/2
    2.52058583014129-1.57079632675     		φ = 0.94978950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01919809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.691529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94978950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.418930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53829 KachelY 20912 2.01919809 0.94978950 115.691529 54.418930
    Oben rechts KachelX + 1 53830 KachelY 20912 2.01929396 0.94978950 115.697022 54.418930
    Unten links KachelX 53829 KachelY + 1 20913 2.01919809 0.94973372 115.691529 54.415734
    Unten rechts KachelX + 1 53830 KachelY + 1 20913 2.01929396 0.94973372 115.697022 54.415734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94978950-0.94973372) × R
    5.57799999999498e-05 × 6371000     		dl = 355.37437999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94978950-0.94973372) × R
    5.57799999999498e-05 × 6371000     		dr = 355.37437999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01919809-2.01929396) × cos(0.94978950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581854300539116 × 6371000     		do = 355.389490691188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01919809-2.01929396) × cos(0.94973372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581899665119808 × 6371000     		du = 355.417198822267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94978950)-sin(0.94973372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581854300539116-0.581899665119808)×R²
    abs(2.01929396-2.01919809)×4.53645806927083e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53645806927083e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53645806927083e-05×40589641000000     		ar = 126301.243325493m²