Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53827 / 50087
↖ ↑ ↗
← S 68.477910°
E115.680542°		 ← 224.07 m → S 68.477910°
E115.686035°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
S 68.479925°
E115.680542°		 ← 224.05 m →
50 205 m²		 S 68.479925°
E115.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821342468261719 y=0.764274597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821342468261719 × 216)
    floor (0.821342468261719 × 65536)
    floor (53827.5)     		tx = 53827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764274597167969 × 216)
    floor (0.764274597167969 × 65536)
    floor (50087.5)     		ty = 50087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53827 / 50087 ti = "16/53827/50087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53827/50087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53827 ÷ 216
    53827 ÷ 65536     		x = 0.821334838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50087 ÷ 216
    50087 ÷ 65536     		y = 0.764266967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821334838867188 × 2 - 1) × π
    0.642669677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01900634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764266967773438 × 2 - 1) × π
    -0.528533935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66043832903951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01900634} λ = 2.01900634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66043832903951))-π/2
    2×atan(0.190055654928256)-π/2
    2×0.187815661753622-π/2
    0.375631323507245-1.57079632675     		φ = -1.19516500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01900634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.680542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19516500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.477910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53827 KachelY 50087 2.01900634 -1.19516500 115.680542 -68.477910
    Oben rechts KachelX + 1 53828 KachelY 50087 2.01910221 -1.19516500 115.686035 -68.477910
    Unten links KachelX 53827 KachelY + 1 50088 2.01900634 -1.19520017 115.680542 -68.479925
    Unten rechts KachelX + 1 53828 KachelY + 1 50088 2.01910221 -1.19520017 115.686035 -68.479925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19516500--1.19520017) × R
    3.51699999998623e-05 × 6371000     		dl = 224.068069999122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19516500--1.19520017) × R
    3.51699999998623e-05 × 6371000     		dr = 224.068069999122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01900634-2.01910221) × cos(-1.19516500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366859910448329 × 6371000     		do = 224.07354660513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01900634-2.01910221) × cos(-1.19520017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366827192407533 × 6371000     		du = 224.053562825953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19516500)-sin(-1.19520017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366859910448329-0.366827192407533)×R²
    abs(2.01910221-2.01900634)×3.27180407957428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27180407957428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27180407957428e-05×40589641000000     		ar = 50205.4882673319m²