Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53827 / 50080
↖ ↑ ↗
← S 68.463800°
E115.680542°		 ← 224.21 m → S 68.463800°
E115.686035°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
S 68.465816°
E115.680542°		 ← 224.19 m →
50 265 m²		 S 68.465816°
E115.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821342468261719 y=0.764167785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821342468261719 × 216)
    floor (0.821342468261719 × 65536)
    floor (53827.5)     		tx = 53827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764167785644531 × 216)
    floor (0.764167785644531 × 65536)
    floor (50080.5)     		ty = 50080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53827 / 50080 ti = "16/53827/50080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53827/50080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53827 ÷ 216
    53827 ÷ 65536     		x = 0.821334838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50080 ÷ 216
    50080 ÷ 65536     		y = 0.76416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821334838867188 × 2 - 1) × π
    0.642669677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01900634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65976721244482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01900634} λ = 2.01900634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65976721244482))-π/2
    2×atan(0.190183247242062)-π/2
    2×0.187938803074293-π/2
    0.375877606148586-1.57079632675     		φ = -1.19491872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01900634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.680542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19491872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.463800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53827 KachelY 50080 2.01900634 -1.19491872 115.680542 -68.463800
    Oben rechts KachelX + 1 53828 KachelY 50080 2.01910221 -1.19491872 115.686035 -68.463800
    Unten links KachelX 53827 KachelY + 1 50081 2.01900634 -1.19495391 115.680542 -68.465816
    Unten rechts KachelX + 1 53828 KachelY + 1 50081 2.01910221 -1.19495391 115.686035 -68.465816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19491872--1.19495391) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dl = 224.195489999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19491872--1.19495391) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dr = 224.195489999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01900634-2.01910221) × cos(-1.19491872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367089007742529 × 6371000     		do = 224.213476430567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01900634-2.01910221) × cos(-1.19495391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367056274276228 × 6371000     		du = 224.193483229681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19491872)-sin(-1.19495391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367089007742529-0.367056274276228)×R²
    abs(2.01910221-2.01900634)×3.27334663013934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27334663013934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27334663013934e-05×40589641000000     		ar = 50265.4090252902m²