Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53826 / 20913
↖ ↑ ↗
← N 54.415734°
E115.675049°		 ← 355.45 m → N 54.415734°
E115.680542°		 →
↑
355.44 m
↓
↑
355.44 m
↓
N 54.412537°
E115.675049°		 ← 355.48 m →
126 347 m²		 N 54.412537°
E115.680542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821327209472656 y=0.319114685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821327209472656 × 216)
    floor (0.821327209472656 × 65536)
    floor (53826.5)     		tx = 53826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319114685058594 × 216)
    floor (0.319114685058594 × 65536)
    floor (20913.5)     		ty = 20913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53826 / 20913 ti = "16/53826/20913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53826/20913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53826 ÷ 216
    53826 ÷ 65536     		x = 0.821319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20913 ÷ 216
    20913 ÷ 65536     		y = 0.319107055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821319580078125 × 2 - 1) × π
    0.64263916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01891046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319107055664062 × 2 - 1) × π
    0.361785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13658388999153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01891046} λ = 2.01891046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13658388999153))-π/2
    2×atan(3.11610520411506)-π/2
    2×1.26026502169214-π/2
    2.52053004338427-1.57079632675     		φ = 0.94973372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01891046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94973372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.415734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53826 KachelY 20913 2.01891046 0.94973372 115.675049 54.415734
    Oben rechts KachelX + 1 53827 KachelY 20913 2.01900634 0.94973372 115.680542 54.415734
    Unten links KachelX 53826 KachelY + 1 20914 2.01891046 0.94967793 115.675049 54.412537
    Unten rechts KachelX + 1 53827 KachelY + 1 20914 2.01900634 0.94967793 115.680542 54.412537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94973372-0.94967793) × R
    5.579e-05 × 6371000     		dl = 355.43809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94973372-0.94967793) × R
    5.579e-05 × 6371000     		dr = 355.43809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01891046-2.01900634) × cos(0.94973372) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.581899665119808 × 6371000     		do = 355.454271649706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01891046-2.01900634) × cos(0.94967793) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.581945036022255 × 6371000     		du = 355.481986532615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94973372)-sin(0.94967793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581899665119808-0.581945036022255)×R²
    abs(2.01900634-2.01891046)×4.53709024464954e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53709024464954e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53709024464954e-05×40589641000000     		ar = 126346.912892782m²