Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53825 / 12477
↖ ↑ ↗
← N 81.012482°
W 32.165222°		 ← 47.71 m → N 81.012482°
W 32.162475°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
N 81.012053°
W 32.165222°		 ← 47.72 m →
2 277 m²		 N 81.012053°
W 32.162475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410655975341797 y=0.0951957702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410655975341797 × 217)
    floor (0.410655975341797 × 131072)
    floor (53825.5)     		tx = 53825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0951957702636719 × 217)
    floor (0.0951957702636719 × 131072)
    floor (12477.5)     		ty = 12477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53825 / 12477 ti = "17/53825/12477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53825/12477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53825 ÷ 217
    53825 ÷ 131072     		x = 0.410652160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12477 ÷ 217
    12477 ÷ 131072     		y = 0.0951919555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410652160644531 × 2 - 1) × π
    -0.178695678710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.56138903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0951919555664062 × 2 - 1) × π
    0.809616088867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.54348395694056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56138903} λ = -0.56138903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54348395694056))-π/2
    2×atan(12.7239234406051)-π/2
    2×1.49236543282535-π/2
    2.98473086565071-1.57079632675     		φ = 1.41393454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56138903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.165222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41393454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.012482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53825 KachelY 12477 -0.56138903 1.41393454 -32.165222 81.012482
    Oben rechts KachelX + 1 53826 KachelY 12477 -0.56134109 1.41393454 -32.162475 81.012482
    Unten links KachelX 53825 KachelY + 1 12478 -0.56138903 1.41392705 -32.165222 81.012053
    Unten rechts KachelX + 1 53826 KachelY + 1 12478 -0.56134109 1.41392705 -32.162475 81.012053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41393454-1.41392705) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41393454-1.41392705) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56138903--0.56134109) × cos(1.41393454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156219297489732 × 6371000     		do = 47.7133945380501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56138903--0.56134109) × cos(1.41392705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156226695526094 × 6371000     		du = 47.7156540887806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41393454)-sin(1.41392705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156219297489732-0.156226695526094)×R²
    abs(-0.56134109--0.56138903)×7.39803636223835e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.39803636223835e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.39803636223835e-06×40589641000000     		ar = 2276.87936559287m²