Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53824 / 21297
↖ ↑ ↗
← N 53.169826°
E115.664063°		 ← 366.13 m → N 53.169826°
E115.669556°		 →
↑
366.14 m
↓
↑
366.14 m
↓
N 53.166533°
E115.664063°		 ← 366.16 m →
134 062 m²		 N 53.166533°
E115.669556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821296691894531 y=0.324974060058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821296691894531 × 216)
    floor (0.821296691894531 × 65536)
    floor (53824.5)     		tx = 53824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324974060058594 × 216)
    floor (0.324974060058594 × 65536)
    floor (21297.5)     		ty = 21297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53824 / 21297 ti = "16/53824/21297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53824/21297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53824 ÷ 216
    53824 ÷ 65536     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21297 ÷ 216
    21297 ÷ 65536     		y = 0.324966430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324966430664062 × 2 - 1) × π
    0.350067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09976835108333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09976835108333))-π/2
    2×atan(3.00347019273887)-π/2
    2×1.24939243076683-π/2
    2.49878486153367-1.57079632675     		φ = 0.92798853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92798853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.169826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53824 KachelY 21297 2.01871872 0.92798853 115.664063 53.169826
    Oben rechts KachelX + 1 53825 KachelY 21297 2.01881459 0.92798853 115.669556 53.169826
    Unten links KachelX 53824 KachelY + 1 21298 2.01871872 0.92793106 115.664063 53.166533
    Unten rechts KachelX + 1 53825 KachelY + 1 21298 2.01881459 0.92793106 115.669556 53.166533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92798853-0.92793106) × R
    5.74700000000039e-05 × 6371000     		dl = 366.141370000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92798853-0.92793106) × R
    5.74700000000039e-05 × 6371000     		dr = 366.141370000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.01881459) × cos(0.92798853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599445206241272 × 6371000     		do = 366.133800757289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.01881459) × cos(0.92793106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599491205147055 × 6371000     		du = 366.161896326375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92798853)-sin(0.92793106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599445206241272-0.599491205147055)×R²
    abs(2.01881459-2.01871872)×4.59989057830512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59989057830512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59989057830512e-05×40589641000000     		ar = 134061.874924824m²