Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53823 / 13835
↖ ↑ ↗
← N 80.410676°
W 32.170716°		 ← 50.88 m → N 80.410676°
W 32.167969°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.410218°
W 32.170716°		 ← 50.88 m →
2 590 m²		 N 80.410218°
W 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410640716552734 y=0.105556488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410640716552734 × 217)
    floor (0.410640716552734 × 131072)
    floor (53823.5)     		tx = 53823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105556488037109 × 217)
    floor (0.105556488037109 × 131072)
    floor (13835.5)     		ty = 13835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53823 / 13835 ti = "17/53823/13835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53823/13835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53823 ÷ 217
    53823 ÷ 131072     		x = 0.410636901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13835 ÷ 217
    13835 ÷ 131072     		y = 0.105552673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410636901855469 × 2 - 1) × π
    -0.178726196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.56148491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105552673339844 × 2 - 1) × π
    0.788894653320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.47838564725652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56148491} λ = -0.56148491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47838564725652))-π/2
    2×atan(11.922002556778)-π/2
    2×1.4871136867893-π/2
    2.9742273735786-1.57079632675     		φ = 1.40343105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56148491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.170716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40343105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.410676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53823 KachelY 13835 -0.56148491 1.40343105 -32.170716 80.410676
    Oben rechts KachelX + 1 53824 KachelY 13835 -0.56143697 1.40343105 -32.167969 80.410676
    Unten links KachelX 53823 KachelY + 1 13836 -0.56148491 1.40342306 -32.170716 80.410218
    Unten rechts KachelX + 1 53824 KachelY + 1 13836 -0.56143697 1.40342306 -32.167969 80.410218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40343105-1.40342306) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40343105-1.40342306) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56148491--0.56143697) × cos(1.40343105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166585021803522 × 6371000     		do = 50.8793535572234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56148491--0.56143697) × cos(1.40342306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166592900154687 × 6371000     		du = 50.8817598084581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40343105)-sin(1.40342306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166585021803522-0.166592900154687)×R²
    abs(-0.56143697--0.56148491)×7.87835116528024e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87835116528024e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87835116528024e-06×40589641000000     		ar = 2590.03861279213m²