Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53822 / 21825
↖ ↑ ↗
← N 51.395778°
E115.653076°		 ← 381.09 m → N 51.395778°
E115.658569°		 →
↑
381.11 m
↓
↑
381.11 m
↓
N 51.392351°
E115.653076°		 ← 381.12 m →
145 245 m²		 N 51.392351°
E115.658569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821266174316406 y=0.333030700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821266174316406 × 216)
    floor (0.821266174316406 × 65536)
    floor (53822.5)     		tx = 53822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333030700683594 × 216)
    floor (0.333030700683594 × 65536)
    floor (21825.5)     		ty = 21825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53822 / 21825 ti = "16/53822/21825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53822/21825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53822 ÷ 216
    53822 ÷ 65536     		x = 0.821258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21825 ÷ 216
    21825 ÷ 65536     		y = 0.333023071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821258544921875 × 2 - 1) × π
    0.64251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01852697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333023071289062 × 2 - 1) × π
    0.333953857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04914698508455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01852697} λ = 2.01852697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04914698508455))-π/2
    2×atan(2.85521453840344)-π/2
    2×1.23391094067676-π/2
    2.46782188135352-1.57079632675     		φ = 0.89702555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01852697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.653076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89702555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.395778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53822 KachelY 21825 2.01852697 0.89702555 115.653076 51.395778
    Oben rechts KachelX + 1 53823 KachelY 21825 2.01862284 0.89702555 115.658569 51.395778
    Unten links KachelX 53822 KachelY + 1 21826 2.01852697 0.89696573 115.653076 51.392351
    Unten rechts KachelX + 1 53823 KachelY + 1 21826 2.01862284 0.89696573 115.658569 51.392351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89702555-0.89696573) × R
    5.98199999999327e-05 × 6371000     		dl = 381.113219999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89702555-0.89696573) × R
    5.98199999999327e-05 × 6371000     		dr = 381.113219999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01852697-2.01862284) × cos(0.89702555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623937181762015 × 6371000     		do = 381.093199868497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01852697-2.01862284) × cos(0.89696573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623983928450182 × 6371000     		du = 381.121752173918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89702555)-sin(0.89696573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623937181762015-0.623983928450182)×R²
    abs(2.01862284-2.01852697)×4.67466881677314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67466881677314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67466881677314e-05×40589641000000     		ar = 145245.097395754m²