Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5382 / 7464
↖ ↑ ↗
← N 69.503765°
W120.871582°		 ← 427.75 m → N 69.503765°
W120.860596°		 →
↑
427.81 m
↓
↑
427.81 m
↓
N 69.499918°
W120.871582°		 ← 427.83 m →
183 014 m²		 N 69.499918°
W120.860596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164260864257812 y=0.227798461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164260864257812 × 215)
    floor (0.164260864257812 × 32768)
    floor (5382.5)     		tx = 5382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227798461914062 × 215)
    floor (0.227798461914062 × 32768)
    floor (7464.5)     		ty = 7464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5382 / 7464 ti = "15/5382/7464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5382/7464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5382 ÷ 215
    5382 ÷ 32768     		x = 0.16424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7464 ÷ 215
    7464 ÷ 32768     		y = 0.227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.6715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10960708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227783203125 × 2 - 1) × π
    0.54443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7103885784436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10960708} λ = -2.10960708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7103885784436))-π/2
    2×atan(5.53111033034161)-π/2
    2×1.39193293598734-π/2
    2.78386587197468-1.57079632675     		φ = 1.21306955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10960708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.871582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21306955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.503765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5382 KachelY 7464 -2.10960708 1.21306955 -120.871582 69.503765
    Oben rechts KachelX + 1 5383 KachelY 7464 -2.10941533 1.21306955 -120.860596 69.503765
    Unten links KachelX 5382 KachelY + 1 7465 -2.10960708 1.21300240 -120.871582 69.499918
    Unten rechts KachelX + 1 5383 KachelY + 1 7465 -2.10941533 1.21300240 -120.860596 69.499918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21306955-1.21300240) × R
    6.71500000000158e-05 × 6371000     		dl = 427.812650000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21306955-1.21300240) × R
    6.71500000000158e-05 × 6371000     		dr = 427.812650000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10960708--2.10941533) × cos(1.21306955) × R
    0.000191749999999935 × 0.350145822534387 × 6371000     		do = 427.751880031396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10960708--2.10941533) × cos(1.21300240) × R
    0.000191749999999935 × 0.350208720827783 × 6371000     		du = 427.828719055367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21306955)-sin(1.21300240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350145822534387-0.350208720827783)×R²
    abs(-2.10941533--2.10960708)×6.28982933960631e-05×R²
    0.000191749999999935×6.28982933960631e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.28982933960631e-05×40589641000000     		ar = 183014.101760683m²