Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53819 / 13833
↖ ↑ ↗
← N 80.411591°
W 32.181701°		 ← 50.86 m → N 80.411591°
W 32.178955°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.411133°
W 32.181701°		 ← 50.87 m →
2 589 m²		 N 80.411133°
W 32.178955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410610198974609 y=0.105541229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410610198974609 × 217)
    floor (0.410610198974609 × 131072)
    floor (53819.5)     		tx = 53819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105541229248047 × 217)
    floor (0.105541229248047 × 131072)
    floor (13833.5)     		ty = 13833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53819 / 13833 ti = "17/53819/13833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53819/13833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53819 ÷ 217
    53819 ÷ 131072     		x = 0.410606384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13833 ÷ 217
    13833 ÷ 131072     		y = 0.105537414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410606384277344 × 2 - 1) × π
    -0.178787231445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.56167665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105537414550781 × 2 - 1) × π
    0.788925170898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.47848152105576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56167665} λ = -0.56167665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47848152105576))-π/2
    2×atan(11.9231456192516)-π/2
    2×1.48712167198148-π/2
    2.97424334396295-1.57079632675     		φ = 1.40344702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56167665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.181701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40344702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.411591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53819 KachelY 13833 -0.56167665 1.40344702 -32.181701 80.411591
    Oben rechts KachelX + 1 53820 KachelY 13833 -0.56162872 1.40344702 -32.178955 80.411591
    Unten links KachelX 53819 KachelY + 1 13834 -0.56167665 1.40343903 -32.181701 80.411133
    Unten rechts KachelX + 1 53820 KachelY + 1 13834 -0.56162872 1.40343903 -32.178955 80.411133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40344702-1.40343903) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40344702-1.40343903) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56167665--0.56162872) × cos(1.40344702) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166569274929585 × 6371000     		do = 50.8639319281573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56167665--0.56162872) × cos(1.40343903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166577153302006 × 6371000     		du = 50.8663376839529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40344702)-sin(1.40343903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166569274929585-0.166577153302006)×R²
    abs(-0.56162872--0.56167665)×7.87837242108291e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.87837242108291e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.87837242108291e-06×40589641000000     		ar = 2589.25357326206m²