Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53817 / 20889
↖ ↑ ↗
← N 54.492377°
E115.625610°		 ← 354.75 m → N 54.492377°
E115.631103°		 →
↑
354.80 m
↓
↑
354.80 m
↓
N 54.489186°
E115.625610°		 ← 354.78 m →
125 871 m²		 N 54.489186°
E115.631103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821189880371094 y=0.318748474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821189880371094 × 216)
    floor (0.821189880371094 × 65536)
    floor (53817.5)     		tx = 53817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318748474121094 × 216)
    floor (0.318748474121094 × 65536)
    floor (20889.5)     		ty = 20889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53817 / 20889 ti = "16/53817/20889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53817/20889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53817 ÷ 216
    53817 ÷ 65536     		x = 0.821182250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20889 ÷ 216
    20889 ÷ 65536     		y = 0.318740844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821182250976562 × 2 - 1) × π
    0.642364501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01804760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318740844726562 × 2 - 1) × π
    0.362518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13888486117329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01804760} λ = 2.01804760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13888486117329))-π/2
    2×atan(3.1232835277799)-π/2
    2×1.26093386268301-π/2
    2.52186772536602-1.57079632675     		φ = 0.95107140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01804760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.625610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95107140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.492377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53817 KachelY 20889 2.01804760 0.95107140 115.625610 54.492377
    Oben rechts KachelX + 1 53818 KachelY 20889 2.01814347 0.95107140 115.631103 54.492377
    Unten links KachelX 53817 KachelY + 1 20890 2.01804760 0.95101571 115.625610 54.489186
    Unten rechts KachelX + 1 53818 KachelY + 1 20890 2.01814347 0.95101571 115.631103 54.489186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95107140-0.95101571) × R
    5.56900000000526e-05 × 6371000     		dl = 354.800990000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95107140-0.95101571) × R
    5.56900000000526e-05 × 6371000     		dr = 354.800990000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01804760-2.01814347) × cos(0.95107140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580811262402399 × 6371000     		do = 354.752415753638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01804760-2.01814347) × cos(0.95101571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580856595292032 × 6371000     		du = 354.780104528205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95107140)-sin(0.95101571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580811262402399-0.580856595292032)×R²
    abs(2.01814347-2.01804760)×4.5332889633154e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5332889633154e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5332889633154e-05×40589641000000     		ar = 125871.420349573m²