Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53816 / 20888
↖ ↑ ↗
← N 54.495567°
E115.620117°		 ← 354.72 m → N 54.495567°
E115.625610°		 →
↑
354.74 m
↓
↑
354.74 m
↓
N 54.492377°
E115.620117°		 ← 354.75 m →
125 839 m²		 N 54.492377°
E115.625610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821174621582031 y=0.318733215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821174621582031 × 216)
    floor (0.821174621582031 × 65536)
    floor (53816.5)     		tx = 53816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318733215332031 × 216)
    floor (0.318733215332031 × 65536)
    floor (20888.5)     		ty = 20888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53816 / 20888 ti = "16/53816/20888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53816/20888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53816 ÷ 216
    53816 ÷ 65536     		x = 0.8211669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20888 ÷ 216
    20888 ÷ 65536     		y = 0.3187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8211669921875 × 2 - 1) × π
    0.642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01795173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3187255859375 × 2 - 1) × π
    0.362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13898073497253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01795173} λ = 2.01795173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13898073497253))-π/2
    2×atan(3.12358298319254)-π/2
    2×1.26096170388779-π/2
    2.52192340777558-1.57079632675     		φ = 0.95112708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01795173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95112708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.495567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53816 KachelY 20888 2.01795173 0.95112708 115.620117 54.495567
    Oben rechts KachelX + 1 53817 KachelY 20888 2.01804760 0.95112708 115.625610 54.495567
    Unten links KachelX 53816 KachelY + 1 20889 2.01795173 0.95107140 115.620117 54.492377
    Unten rechts KachelX + 1 53817 KachelY + 1 20889 2.01804760 0.95107140 115.625610 54.492377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95112708-0.95107140) × R
    5.56800000000024e-05 × 6371000     		dl = 354.737280000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95112708-0.95107140) × R
    5.56800000000024e-05 × 6371000     		dr = 354.737280000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01795173-2.01804760) × cos(0.95112708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580765935852158 × 6371000     		do = 354.724730851095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01795173-2.01804760) × cos(0.95107140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580811262402399 × 6371000     		du = 354.752415753638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95112708)-sin(0.95107140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580765935852158-0.580811262402399)×R²
    abs(2.01804760-2.01795173)×4.53265502413647e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53265502413647e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53265502413647e-05×40589641000000     		ar = 125838.996636556m²