Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53816 / 10776
↖ ↑ ↗
← N 81.713693°
W 32.189941°		 ← 44.01 m → N 81.713693°
W 32.187195°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
N 81.713297°
W 32.189941°		 ← 44.01 m →
1 937 m²		 N 81.713297°
W 32.187195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410587310791016 y=0.0822181701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410587310791016 × 217)
    floor (0.410587310791016 × 131072)
    floor (53816.5)     		tx = 53816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0822181701660156 × 217)
    floor (0.0822181701660156 × 131072)
    floor (10776.5)     		ty = 10776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53816 / 10776 ti = "17/53816/10776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53816/10776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53816 ÷ 217
    53816 ÷ 131072     		x = 0.41058349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10776 ÷ 217
    10776 ÷ 131072     		y = 0.08221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41058349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1788330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56182046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08221435546875 × 2 - 1) × π
    0.8355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62502462319428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56182046} λ = -0.56182046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62502462319428))-π/2
    2×atan(13.8049141029641)-π/2
    2×1.49848465632126-π/2
    2.99696931264252-1.57079632675     		φ = 1.42617299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56182046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.189941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42617299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.713693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53816 KachelY 10776 -0.56182046 1.42617299 -32.189941 81.713693
    Oben rechts KachelX + 1 53817 KachelY 10776 -0.56177253 1.42617299 -32.187195 81.713693
    Unten links KachelX 53816 KachelY + 1 10777 -0.56182046 1.42616608 -32.189941 81.713297
    Unten rechts KachelX + 1 53817 KachelY + 1 10777 -0.56177253 1.42616608 -32.187195 81.713297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42617299-1.42616608) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dl = 44.0236099998159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42617299-1.42616608) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dr = 44.0236099998159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56182046--0.56177253) × cos(1.42617299) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.144119709003421 × 6371000     		do = 44.0086869042189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56182046--0.56177253) × cos(1.42616608) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.144126546861381 × 6371000     		du = 44.0107749264065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42617299)-sin(1.42616608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144119709003421-0.144126546861381)×R²
    abs(-0.56177253--0.56182046)×6.83785796035119e-06×R²
    4.79299999999183e-05×6.83785796035119e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×6.83785796035119e-06×40589641000000     		ar = 1937.46723006812m²