Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53814 / 20887
↖ ↑ ↗
← N 54.498758°
E115.609131°		 ← 354.70 m → N 54.498758°
E115.614624°		 →
↑
354.74 m
↓
↑
354.74 m
↓
N 54.495567°
E115.609131°		 ← 354.72 m →
125 829 m²		 N 54.495567°
E115.614624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821144104003906 y=0.318717956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821144104003906 × 216)
    floor (0.821144104003906 × 65536)
    floor (53814.5)     		tx = 53814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318717956542969 × 216)
    floor (0.318717956542969 × 65536)
    floor (20887.5)     		ty = 20887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53814 / 20887 ti = "16/53814/20887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53814/20887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53814 ÷ 216
    53814 ÷ 65536     		x = 0.821136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20887 ÷ 216
    20887 ÷ 65536     		y = 0.318710327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821136474609375 × 2 - 1) × π
    0.64227294921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01775998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318710327148438 × 2 - 1) × π
    0.362579345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13907660877177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01775998} λ = 2.01775998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13907660877177))-π/2
    2×atan(3.12388246731649)-π/2
    2×1.2609895429197-π/2
    2.5219790858394-1.57079632675     		φ = 0.95118276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01775998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.609131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95118276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.498758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53814 KachelY 20887 2.01775998 0.95118276 115.609131 54.498758
    Oben rechts KachelX + 1 53815 KachelY 20887 2.01785585 0.95118276 115.614624 54.498758
    Unten links KachelX 53814 KachelY + 1 20888 2.01775998 0.95112708 115.609131 54.495567
    Unten rechts KachelX + 1 53815 KachelY + 1 20888 2.01785585 0.95112708 115.614624 54.495567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95118276-0.95112708) × R
    5.56800000000024e-05 × 6371000     		dl = 354.737280000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95118276-0.95112708) × R
    5.56800000000024e-05 × 6371000     		dr = 354.737280000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01775998-2.01785585) × cos(0.95118276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58072060750139 × 6371000     		do = 354.697044848811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01775998-2.01785585) × cos(0.95112708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580765935852158 × 6371000     		du = 354.724730851095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95118276)-sin(0.95112708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58072060750139-0.580765935852158)×R²
    abs(2.01785585-2.01775998)×4.53283507682034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53283507682034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53283507682034e-05×40589641000000     		ar = 125829.175574778m²