Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53814 / 13874
↖ ↑ ↗
← N 80.392815°
W 32.195435°		 ← 50.97 m → N 80.392815°
W 32.192688°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.392357°
W 32.195435°		 ← 50.98 m →
2 598 m²		 N 80.392357°
W 32.192688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410572052001953 y=0.105854034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410572052001953 × 217)
    floor (0.410572052001953 × 131072)
    floor (53814.5)     		tx = 53814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105854034423828 × 217)
    floor (0.105854034423828 × 131072)
    floor (13874.5)     		ty = 13874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53814 / 13874 ti = "17/53814/13874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53814/13874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53814 ÷ 217
    53814 ÷ 131072     		x = 0.410568237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13874 ÷ 217
    13874 ÷ 131072     		y = 0.105850219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410568237304688 × 2 - 1) × π
    -0.178863525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56191634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105850219726562 × 2 - 1) × π
    0.788299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47651610817134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56191634} λ = -0.56191634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47651610817134))-π/2
    2×atan(11.8997347287976)-π/2
    2×1.48695782456889-π/2
    2.97391564913778-1.57079632675     		φ = 1.40311932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56191634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.195435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40311932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.392815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53814 KachelY 13874 -0.56191634 1.40311932 -32.195435 80.392815
    Oben rechts KachelX + 1 53815 KachelY 13874 -0.56186840 1.40311932 -32.192688 80.392815
    Unten links KachelX 53814 KachelY + 1 13875 -0.56191634 1.40311132 -32.195435 80.392357
    Unten rechts KachelX + 1 53815 KachelY + 1 13875 -0.56186840 1.40311132 -32.192688 80.392357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40311932-1.40311132) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40311932-1.40311132) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56191634--0.56186840) × cos(1.40311932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166892387930622 × 6371000     		do = 50.9732310840438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56191634--0.56186840) × cos(1.40311132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166900275726215 × 6371000     		du = 50.9756402198499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40311932)-sin(1.40311132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166892387930622-0.166900275726215)×R²
    abs(-0.56186840--0.56191634)×7.88779559338093e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.88779559338093e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.88779559338093e-06×40589641000000     		ar = 2598.06503624113m²