Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53813 / 21267
↖ ↑ ↗
← N 53.268498°
E115.603638°		 ← 365.29 m → N 53.268498°
E115.609131°		 →
↑
365.31 m
↓
↑
365.31 m
↓
N 53.265213°
E115.603638°		 ← 365.32 m →
133 451 m²		 N 53.265213°
E115.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821128845214844 y=0.324516296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821128845214844 × 216)
    floor (0.821128845214844 × 65536)
    floor (53813.5)     		tx = 53813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324516296386719 × 216)
    floor (0.324516296386719 × 65536)
    floor (21267.5)     		ty = 21267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53813 / 21267 ti = "16/53813/21267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53813/21267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53813 ÷ 216
    53813 ÷ 65536     		x = 0.821121215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21267 ÷ 216
    21267 ÷ 65536     		y = 0.324508666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821121215820312 × 2 - 1) × π
    0.642242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01766411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324508666992188 × 2 - 1) × π
    0.350982666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10264456506053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01766411} λ = 2.01766411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10264456506053))-π/2
    2×atan(3.0121212508706)-π/2
    2×1.25025350512656-π/2
    2.50050701025311-1.57079632675     		φ = 0.92971068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01766411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.603638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92971068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.268498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53813 KachelY 21267 2.01766411 0.92971068 115.603638 53.268498
    Oben rechts KachelX + 1 53814 KachelY 21267 2.01775998 0.92971068 115.609131 53.268498
    Unten links KachelX 53813 KachelY + 1 21268 2.01766411 0.92965334 115.603638 53.265213
    Unten rechts KachelX + 1 53814 KachelY + 1 21268 2.01775998 0.92965334 115.609131 53.265213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92971068-0.92965334) × R
    5.73400000000168e-05 × 6371000     		dl = 365.313140000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92971068-0.92965334) × R
    5.73400000000168e-05 × 6371000     		dr = 365.313140000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01766411-2.01775998) × cos(0.92971068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598065881944195 × 6371000     		do = 365.29132634577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01766411-2.01775998) × cos(0.92965334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598111835928641 × 6371000     		du = 365.319394477453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92971068)-sin(0.92965334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598065881944195-0.598111835928641)×R²
    abs(2.01775998-2.01766411)×4.59539844465118e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59539844465118e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59539844465118e-05×40589641000000     		ar = 133450.8483072m²