Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5381 / 2341
↖ ↑ ↗
← N 82.254299°
W120.882569°		 ← 164.65 m → N 82.254299°
W120.871582°		 →
↑
164.69 m
↓
↑
164.69 m
↓
N 82.252818°
W120.882569°		 ← 164.68 m →
27 119 m²		 N 82.252818°
W120.871582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164230346679688 y=0.0714569091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164230346679688 × 215)
    floor (0.164230346679688 × 32768)
    floor (5381.5)     		tx = 5381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0714569091796875 × 215)
    floor (0.0714569091796875 × 32768)
    floor (2341.5)     		ty = 2341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5381 / 2341 ti = "15/5381/2341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5381/2341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5381 ÷ 215
    5381 ÷ 32768     		x = 0.164215087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2341 ÷ 215
    2341 ÷ 32768     		y = 0.071441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164215087890625 × 2 - 1) × π
    -0.67156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10979883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.071441650390625 × 2 - 1) × π
    0.85711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.69271152545779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10979883} λ = -2.10979883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69271152545779))-π/2
    2×atan(14.7716754400871)-π/2
    2×1.50320233197416-π/2
    3.00640466394832-1.57079632675     		φ = 1.43560834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10979883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.882569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43560834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.254299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5381 KachelY 2341 -2.10979883 1.43560834 -120.882569 82.254299
    Oben rechts KachelX + 1 5382 KachelY 2341 -2.10960708 1.43560834 -120.871582 82.254299
    Unten links KachelX 5381 KachelY + 1 2342 -2.10979883 1.43558249 -120.882569 82.252818
    Unten rechts KachelX + 1 5382 KachelY + 1 2342 -2.10960708 1.43558249 -120.871582 82.252818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43560834-1.43558249) × R
    2.58499999998829e-05 × 6371000     		dl = 164.690349999254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43560834-1.43558249) × R
    2.58499999998829e-05 × 6371000     		dr = 164.690349999254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10979883--2.10960708) × cos(1.43560834) × R
    0.000191749999999935 × 0.134776584993417 × 6371000     		do = 164.648366208864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10979883--2.10960708) × cos(1.43558249) × R
    0.000191749999999935 × 0.134802199093307 × 6371000     		du = 164.679657398642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43560834)-sin(1.43558249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134776584993417-0.134802199093307)×R²
    abs(-2.10960708--2.10979883)×2.56140998896592e-05×R²
    0.000191749999999935×2.56140998896592e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.56140998896592e-05×40589641000000     		ar = 27118.5737382436m²