Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53809 / 20923
↖ ↑ ↗
← N 54.383756°
E115.581665°		 ← 355.69 m → N 54.383756°
E115.587158°		 →
↑
355.69 m
↓
↑
355.69 m
↓
N 54.380558°
E115.581665°		 ← 355.72 m →
126 523 m²		 N 54.380558°
E115.587158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821067810058594 y=0.319267272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821067810058594 × 216)
    floor (0.821067810058594 × 65536)
    floor (53809.5)     		tx = 53809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319267272949219 × 216)
    floor (0.319267272949219 × 65536)
    floor (20923.5)     		ty = 20923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53809 / 20923 ti = "16/53809/20923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53809/20923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53809 ÷ 216
    53809 ÷ 65536     		x = 0.821060180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20923 ÷ 216
    20923 ÷ 65536     		y = 0.319259643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821060180664062 × 2 - 1) × π
    0.642120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01728061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319259643554688 × 2 - 1) × π
    0.361480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13562515199913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01728061} λ = 2.01728061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13562515199913))-π/2
    2×atan(3.1131191073385)-π/2
    2×1.25998596827155-π/2
    2.51997193654311-1.57079632675     		φ = 0.94917561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01728061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.581665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94917561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.383756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53809 KachelY 20923 2.01728061 0.94917561 115.581665 54.383756
    Oben rechts KachelX + 1 53810 KachelY 20923 2.01737648 0.94917561 115.587158 54.383756
    Unten links KachelX 53809 KachelY + 1 20924 2.01728061 0.94911978 115.581665 54.380558
    Unten rechts KachelX + 1 53810 KachelY + 1 20924 2.01737648 0.94911978 115.587158 54.380558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94917561-0.94911978) × R
    5.5829999999979e-05 × 6371000     		dl = 355.692929999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94917561-0.94911978) × R
    5.5829999999979e-05 × 6371000     		dr = 355.692929999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01728061-2.01737648) × cos(0.94917561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58235346333453 × 6371000     		do = 355.694373221867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01728061-2.01737648) × cos(0.94911978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582398848626748 × 6371000     		du = 355.722094003291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94917561)-sin(0.94911978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58235346333453-0.582398848626748)×R²
    abs(2.01737648-2.01728061)×4.53852922176479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53852922176479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53852922176479e-05×40589641000000     		ar = 126522.903871672m²