Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53808 / 21136
↖ ↑ ↗
← N 53.696707°
E115.576172°		 ← 361.62 m → N 53.696707°
E115.581665°		 →
↑
361.68 m
↓
↑
361.68 m
↓
N 53.693454°
E115.576172°		 ← 361.65 m →
130 797 m²		 N 53.693454°
E115.581665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821052551269531 y=0.322517395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821052551269531 × 216)
    floor (0.821052551269531 × 65536)
    floor (53808.5)     		tx = 53808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322517395019531 × 216)
    floor (0.322517395019531 × 65536)
    floor (21136.5)     		ty = 21136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53808 / 21136 ti = "16/53808/21136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53808/21136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53808 ÷ 216
    53808 ÷ 65536     		x = 0.821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21136 ÷ 216
    21136 ÷ 65536     		y = 0.322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821044921875 × 2 - 1) × π
    0.64208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01718474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322509765625 × 2 - 1) × π
    0.35498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11520403276099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01718474} λ = 2.01718474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11520403276099))-π/2
    2×atan(3.05019045447821)-π/2
    2×1.25399032612351-π/2
    2.50798065224703-1.57079632675     		φ = 0.93718433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01718474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93718433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.696707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53808 KachelY 21136 2.01718474 0.93718433 115.576172 53.696707
    Oben rechts KachelX + 1 53809 KachelY 21136 2.01728061 0.93718433 115.581665 53.696707
    Unten links KachelX 53808 KachelY + 1 21137 2.01718474 0.93712756 115.576172 53.693454
    Unten rechts KachelX + 1 53809 KachelY + 1 21137 2.01728061 0.93712756 115.581665 53.693454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93718433-0.93712756) × R
    5.67700000000393e-05 × 6371000     		dl = 361.68167000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93718433-0.93712756) × R
    5.67700000000393e-05 × 6371000     		dr = 361.68167000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01718474-2.01728061) × cos(0.93718433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592059501225734 × 6371000     		do = 361.62270246097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01718474-2.01728061) × cos(0.93712756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592105250888397 × 6371000     		du = 361.650645795407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93718433)-sin(0.93712756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592059501225734-0.592105250888397)×R²
    abs(2.01728061-2.01718474)×4.57496626635745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57496626635745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57496626635745e-05×40589641000000     		ar = 130797.356267128m²