Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53807 / 20943
↖ ↑ ↗
← N 54.319727°
E115.570679°		 ← 356.29 m → N 54.319727°
E115.576172°		 →
↑
356.27 m
↓
↑
356.27 m
↓
N 54.316523°
E115.570679°		 ← 356.31 m →
126 938 m²		 N 54.316523°
E115.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821037292480469 y=0.319572448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821037292480469 × 216)
    floor (0.821037292480469 × 65536)
    floor (53807.5)     		tx = 53807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319572448730469 × 216)
    floor (0.319572448730469 × 65536)
    floor (20943.5)     		ty = 20943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53807 / 20943 ti = "16/53807/20943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53807/20943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53807 ÷ 216
    53807 ÷ 65536     		x = 0.821029663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20943 ÷ 216
    20943 ÷ 65536     		y = 0.319564819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821029663085938 × 2 - 1) × π
    0.642059326171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01708886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319564819335938 × 2 - 1) × π
    0.360870361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13370767601433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01708886} λ = 2.01708886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13370767601433))-π/2
    2×atan(3.10715549558072)-π/2
    2×1.25942720861737-π/2
    2.51885441723473-1.57079632675     		φ = 0.94805809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01708886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.570679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94805809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.319727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53807 KachelY 20943 2.01708886 0.94805809 115.570679 54.319727
    Oben rechts KachelX + 1 53808 KachelY 20943 2.01718474 0.94805809 115.576172 54.319727
    Unten links KachelX 53807 KachelY + 1 20944 2.01708886 0.94800217 115.570679 54.316523
    Unten rechts KachelX + 1 53808 KachelY + 1 20944 2.01718474 0.94800217 115.576172 54.316523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94805809-0.94800217) × R
    5.59199999999871e-05 × 6371000     		dl = 356.266319999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94805809-0.94800217) × R
    5.59199999999871e-05 × 6371000     		dr = 356.266319999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01708886-2.01718474) × cos(0.94805809) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.583261571406697 × 6371000     		do = 356.286194120673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01708886-2.01718474) × cos(0.94800217) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.583306993438132 × 6371000     		du = 356.313940235799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94805809)-sin(0.94800217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583261571406697-0.583306993438132)×R²
    abs(2.01718474-2.01708886)×4.54220314347609e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54220314347609e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54220314347609e-05×40589641000000     		ar = 126937.713782537m²