Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53807 / 10767
↖ ↑ ↗
← N 81.717255°
W 32.214661°		 ← 44 m → N 81.717255°
W 32.211914°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
N 81.716859°
W 32.214661°		 ← 44 m →
1 937 m²		 N 81.716859°
W 32.211914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410518646240234 y=0.0821495056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410518646240234 × 217)
    floor (0.410518646240234 × 131072)
    floor (53807.5)     		tx = 53807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0821495056152344 × 217)
    floor (0.0821495056152344 × 131072)
    floor (10767.5)     		ty = 10767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53807 / 10767 ti = "17/53807/10767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53807/10767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53807 ÷ 217
    53807 ÷ 131072     		x = 0.410514831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10767 ÷ 217
    10767 ÷ 131072     		y = 0.0821456909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410514831542969 × 2 - 1) × π
    -0.178970336914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.56225190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0821456909179688 × 2 - 1) × π
    0.835708618164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.62545605529086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56225190} λ = -0.56225190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62545605529086))-π/2
    2×atan(13.810871270963)-π/2
    2×1.49851573862081-π/2
    2.99703147724161-1.57079632675     		φ = 1.42623515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56225190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.214661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42623515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.717255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53807 KachelY 10767 -0.56225190 1.42623515 -32.214661 81.717255
    Oben rechts KachelX + 1 53808 KachelY 10767 -0.56220396 1.42623515 -32.211914 81.717255
    Unten links KachelX 53807 KachelY + 1 10768 -0.56225190 1.42622824 -32.214661 81.716859
    Unten rechts KachelX + 1 53808 KachelY + 1 10768 -0.56220396 1.42622824 -32.211914 81.716859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42623515-1.42622824) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dl = 44.0236099998159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42623515-1.42622824) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dr = 44.0236099998159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56225190--0.56220396) × cos(1.42623515) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.144058197659228 × 6371000     		do = 43.9990816232092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56225190--0.56220396) × cos(1.42622824) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.14406503557908 × 6371000     		du = 44.0011700999399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42623515)-sin(1.42622824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144058197659228-0.14406503557908)×R²
    abs(-0.56220396--0.56225190)×6.83791985170434e-06×R²
    4.79400000000796e-05×6.83791985170434e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×6.83791985170434e-06×40589641000000     		ar = 1937.04438083434m²