Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53806 / 20906
↖ ↑ ↗
← N 54.438103°
E115.565186°		 ← 355.22 m → N 54.438103°
E115.570679°		 →
↑
355.25 m
↓
↑
355.25 m
↓
N 54.434908°
E115.565186°		 ← 355.25 m →
126 197 m²		 N 54.434908°
E115.570679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821022033691406 y=0.319007873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821022033691406 × 216)
    floor (0.821022033691406 × 65536)
    floor (53806.5)     		tx = 53806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319007873535156 × 216)
    floor (0.319007873535156 × 65536)
    floor (20906.5)     		ty = 20906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53806 / 20906 ti = "16/53806/20906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53806/20906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53806 ÷ 216
    53806 ÷ 65536     		x = 0.821014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20906 ÷ 216
    20906 ÷ 65536     		y = 0.319000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821014404296875 × 2 - 1) × π
    0.64202880859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01699299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319000244140625 × 2 - 1) × π
    0.36199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13725500658621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01699299} λ = 2.01699299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13725500658621))-π/2
    2×atan(3.11819717592829)-π/2
    2×1.26046022967257-π/2
    2.52092045934513-1.57079632675     		φ = 0.95012413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01699299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.565186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95012413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.438103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53806 KachelY 20906 2.01699299 0.95012413 115.565186 54.438103
    Oben rechts KachelX + 1 53807 KachelY 20906 2.01708886 0.95012413 115.570679 54.438103
    Unten links KachelX 53806 KachelY + 1 20907 2.01699299 0.95006837 115.565186 54.434908
    Unten rechts KachelX + 1 53807 KachelY + 1 20907 2.01708886 0.95006837 115.570679 54.434908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95012413-0.95006837) × R
    5.57599999999603e-05 × 6371000     		dl = 355.246959999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95012413-0.95006837) × R
    5.57599999999603e-05 × 6371000     		dr = 355.246959999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01699299-2.01708886) × cos(0.95012413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581582115716172 × 6371000     		do = 355.223243530155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01699299-2.01708886) × cos(0.95006837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581627474886338 × 6371000     		du = 355.25094835655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95012413)-sin(0.95006837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581582115716172-0.581627474886338)×R²
    abs(2.01708886-2.01699299)×4.5359170166015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5359170166015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5359170166015e-05×40589641000000     		ar = 126196.898445765m²