Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53806 / 10806
↖ ↑ ↗
← N 81.701809°
W 32.217407°		 ← 44.07 m → N 81.701809°
W 32.214661°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.701413°
W 32.217407°		 ← 44.07 m →
1 943 m²		 N 81.701413°
W 32.214661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410511016845703 y=0.0824470520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410511016845703 × 217)
    floor (0.410511016845703 × 131072)
    floor (53806.5)     		tx = 53806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0824470520019531 × 217)
    floor (0.0824470520019531 × 131072)
    floor (10806.5)     		ty = 10806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53806 / 10806 ti = "17/53806/10806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53806/10806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53806 ÷ 217
    53806 ÷ 131072     		x = 0.410507202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10806 ÷ 217
    10806 ÷ 131072     		y = 0.0824432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410507202148438 × 2 - 1) × π
    -0.178985595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56229983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0824432373046875 × 2 - 1) × π
    0.835113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62358651620567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56229983} λ = -0.56229983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62358651620567))-π/2
    2×atan(13.7850754280032)-π/2
    2×1.49838095276626-π/2
    2.99676190553253-1.57079632675     		φ = 1.42596558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56229983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.217407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42596558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.701809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53806 KachelY 10806 -0.56229983 1.42596558 -32.217407 81.701809
    Oben rechts KachelX + 1 53807 KachelY 10806 -0.56225190 1.42596558 -32.214661 81.701809
    Unten links KachelX 53806 KachelY + 1 10807 -0.56229983 1.42595866 -32.217407 81.701413
    Unten rechts KachelX + 1 53807 KachelY + 1 10807 -0.56225190 1.42595866 -32.214661 81.701413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42596558-1.42595866) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42596558-1.42595866) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56229983--0.56225190) × cos(1.42596558) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.144324950595677 × 6371000     		do = 44.0713598934704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56229983--0.56225190) × cos(1.42595866) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.144331798142226 × 6371000     		du = 44.0734508741851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42596558)-sin(1.42595866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144324950595677-0.144331798142226)×R²
    abs(-0.56225190--0.56229983)×6.84754654900477e-06×R²
    4.79299999999183e-05×6.84754654900477e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×6.84754654900477e-06×40589641000000     		ar = 1943.0342394791m²