Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53805 / 50239
↖ ↑ ↗
← S 68.782156°
E115.559692°		 ← 221.08 m → S 68.782156°
E115.565186°		 →
↑
221.01 m
↓
↑
221.01 m
↓
S 68.784144°
E115.559692°		 ← 221.06 m →
48 858 m²		 S 68.784144°
E115.565186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821006774902344 y=0.766593933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821006774902344 × 216)
    floor (0.821006774902344 × 65536)
    floor (53805.5)     		tx = 53805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766593933105469 × 216)
    floor (0.766593933105469 × 65536)
    floor (50239.5)     		ty = 50239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53805 / 50239 ti = "16/53805/50239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53805/50239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53805 ÷ 216
    53805 ÷ 65536     		x = 0.820999145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50239 ÷ 216
    50239 ÷ 65536     		y = 0.766586303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820999145507812 × 2 - 1) × π
    0.641998291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01689711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766586303710938 × 2 - 1) × π
    -0.533172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.675011146524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01689711} λ = 2.01689711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.675011146524))-π/2
    2×atan(0.187306091658475)-π/2
    2×0.185160620643104-π/2
    0.370321241286208-1.57079632675     		φ = -1.20047509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01689711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.559692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20047509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.782156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53805 KachelY 50239 2.01689711 -1.20047509 115.559692 -68.782156
    Oben rechts KachelX + 1 53806 KachelY 50239 2.01699299 -1.20047509 115.565186 -68.782156
    Unten links KachelX 53805 KachelY + 1 50240 2.01689711 -1.20050978 115.559692 -68.784144
    Unten rechts KachelX + 1 53806 KachelY + 1 50240 2.01699299 -1.20050978 115.565186 -68.784144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20047509--1.20050978) × R
    3.46899999998929e-05 × 6371000     		dl = 221.009989999317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20047509--1.20050978) × R
    3.46899999998929e-05 × 6371000     		dr = 221.009989999317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01689711-2.01699299) × cos(-1.20047509) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361914911150003 × 6371000     		do = 221.076259109903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01689711-2.01699299) × cos(-1.20050978) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361882572528031 × 6371000     		du = 221.05650501481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20047509)-sin(-1.20050978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361914911150003-0.361882572528031)×R²
    abs(2.01699299-2.01689711)×3.23386219717725e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.23386219717725e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.23386219717725e-05×40589641000000     		ar = 48857.8788935476m²