Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53803 / 15913
↖ ↑ ↗
← N 79.411699°
W 32.225647°		 ← 56.11 m → N 79.411699°
W 32.222901°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.411194°
W 32.225647°		 ← 56.11 m →
3 149 m²		 N 79.411194°
W 32.222901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410488128662109 y=0.121410369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410488128662109 × 217)
    floor (0.410488128662109 × 131072)
    floor (53803.5)     		tx = 53803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121410369873047 × 217)
    floor (0.121410369873047 × 131072)
    floor (15913.5)     		ty = 15913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53803 / 15913 ti = "17/53803/15913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53803/15913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53803 ÷ 217
    53803 ÷ 131072     		x = 0.410484313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15913 ÷ 217
    15913 ÷ 131072     		y = 0.121406555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410484313964844 × 2 - 1) × π
    -0.179031372070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.56244364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121406555175781 × 2 - 1) × π
    0.757186889648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.37877276984605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56244364} λ = -0.56244364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37877276984605))-π/2
    2×atan(10.7916508945975)-π/2
    2×1.47839596596813-π/2
    2.95679193193626-1.57079632675     		φ = 1.38599561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56244364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.225647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38599561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.411699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53803 KachelY 15913 -0.56244364 1.38599561 -32.225647 79.411699
    Oben rechts KachelX + 1 53804 KachelY 15913 -0.56239571 1.38599561 -32.222901 79.411699
    Unten links KachelX 53803 KachelY + 1 15914 -0.56244364 1.38598680 -32.225647 79.411194
    Unten rechts KachelX + 1 53804 KachelY + 1 15914 -0.56239571 1.38598680 -32.222901 79.411194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38599561-1.38598680) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38599561-1.38598680) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56244364--0.56239571) × cos(1.38599561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183750647190292 × 6371000     		do = 56.1104706398758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56244364--0.56239571) × cos(1.38598680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18375930717431 × 6371000     		du = 56.1131150701751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38599561)-sin(1.38598680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183750647190292-0.18375930717431)×R²
    abs(-0.56239571--0.56244364)×8.65998401713974e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.65998401713974e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.65998401713974e-06×40589641000000     		ar = 3149.47132637877m²