Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53802 / 20914
↖ ↑ ↗
← N 54.412537°
E115.543213°		 ← 355.48 m → N 54.412537°
E115.548706°		 →
↑
355.50 m
↓
↑
355.50 m
↓
N 54.409340°
E115.543213°		 ← 355.51 m →
126 379 m²		 N 54.409340°
E115.548706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820960998535156 y=0.319129943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820960998535156 × 216)
    floor (0.820960998535156 × 65536)
    floor (53802.5)     		tx = 53802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319129943847656 × 216)
    floor (0.319129943847656 × 65536)
    floor (20914.5)     		ty = 20914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53802 / 20914 ti = "16/53802/20914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53802/20914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53802 ÷ 216
    53802 ÷ 65536     		x = 0.820953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20914 ÷ 216
    20914 ÷ 65536     		y = 0.319122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820953369140625 × 2 - 1) × π
    0.64190673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01660949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319122314453125 × 2 - 1) × π
    0.36175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13648801619229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01660949} λ = 2.01660949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13648801619229))-π/2
    2×atan(3.11580646559114)-π/2
    2×1.26023712613868-π/2
    2.52047425227736-1.57079632675     		φ = 0.94967793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01660949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94967793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.412537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53802 KachelY 20914 2.01660949 0.94967793 115.543213 54.412537
    Oben rechts KachelX + 1 53803 KachelY 20914 2.01670537 0.94967793 115.548706 54.412537
    Unten links KachelX 53802 KachelY + 1 20915 2.01660949 0.94962213 115.543213 54.409340
    Unten rechts KachelX + 1 53803 KachelY + 1 20915 2.01670537 0.94962213 115.548706 54.409340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94967793-0.94962213) × R
    5.58000000000503e-05 × 6371000     		dl = 355.50180000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94967793-0.94962213) × R
    5.58000000000503e-05 × 6371000     		dr = 355.50180000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01660949-2.01670537) × cos(0.94967793) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.581945036022255 × 6371000     		do = 355.481986532615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01660949-2.01670537) × cos(0.94962213) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58199041324534 × 6371000     		du = 355.509705276494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94967793)-sin(0.94962213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581945036022255-0.58199041324534)×R²
    abs(2.01670537-2.01660949)×4.53772230850635e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53772230850635e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53772230850635e-05×40589641000000     		ar = 126379.413144105m²