Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53802 / 13794
↖ ↑ ↗
← N 80.429417°
W 32.228394°		 ← 50.78 m → N 80.429417°
W 32.225647°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
N 80.428960°
W 32.228394°		 ← 50.78 m →
2 579 m²		 N 80.428960°
W 32.225647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410480499267578 y=0.105243682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410480499267578 × 217)
    floor (0.410480499267578 × 131072)
    floor (53802.5)     		tx = 53802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105243682861328 × 217)
    floor (0.105243682861328 × 131072)
    floor (13794.5)     		ty = 13794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53802 / 13794 ti = "17/53802/13794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53802/13794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53802 ÷ 217
    53802 ÷ 131072     		x = 0.410476684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13794 ÷ 217
    13794 ÷ 131072     		y = 0.105239868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410476684570312 × 2 - 1) × π
    -0.179046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56249158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105239868164062 × 2 - 1) × π
    0.789520263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48035106014095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56249158} λ = -0.56249158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48035106014095))-π/2
    2×atan(11.9454572557448)-π/2
    2×1.48727723244074-π/2
    2.97455446488147-1.57079632675     		φ = 1.40375814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56249158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.228394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40375814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.429417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53802 KachelY 13794 -0.56249158 1.40375814 -32.228394 80.429417
    Oben rechts KachelX + 1 53803 KachelY 13794 -0.56244364 1.40375814 -32.225647 80.429417
    Unten links KachelX 53802 KachelY + 1 13795 -0.56249158 1.40375017 -32.228394 80.428960
    Unten rechts KachelX + 1 53803 KachelY + 1 13795 -0.56244364 1.40375017 -32.225647 80.428960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40375814-1.40375017) × R
    7.97000000019032e-06 × 6371000     		dl = 50.7768700012126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40375814-1.40375017) × R
    7.97000000019032e-06 × 6371000     		dr = 50.7768700012126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56249158--0.56244364) × cos(1.40375814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16626249329574 × 6371000     		do = 50.7808450490633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56249158--0.56244364) × cos(1.40375017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166270352360252 × 6371000     		du = 50.7832454096574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40375814)-sin(1.40375017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16626249329574-0.166270352360252)×R²
    abs(-0.56244364--0.56249158)×7.85906451167273e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.85906451167273e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.85906451167273e-06×40589641000000     		ar = 2578.55330909988m²