Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53801 / 15912
↖ ↑ ↗
← N 79.412203°
W 32.231140°		 ← 56.12 m → N 79.412203°
W 32.228394°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
N 79.411699°
W 32.231140°		 ← 56.12 m →
3 146 m²		 N 79.411699°
W 32.228394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410472869873047 y=0.121402740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410472869873047 × 217)
    floor (0.410472869873047 × 131072)
    floor (53801.5)     		tx = 53801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121402740478516 × 217)
    floor (0.121402740478516 × 131072)
    floor (15912.5)     		ty = 15912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53801 / 15912 ti = "17/53801/15912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53801/15912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53801 ÷ 217
    53801 ÷ 131072     		x = 0.410469055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15912 ÷ 217
    15912 ÷ 131072     		y = 0.12139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410469055175781 × 2 - 1) × π
    -0.179061889648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.56253952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12139892578125 × 2 - 1) × π
    0.7572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37882070674567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56253952} λ = -0.56253952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37882070674567))-π/2
    2×atan(10.7921682252827)-π/2
    2×1.47840037008265-π/2
    2.95680074016529-1.57079632675     		φ = 1.38600441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56253952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.231140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38600441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.412203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53801 KachelY 15912 -0.56253952 1.38600441 -32.231140 79.412203
    Oben rechts KachelX + 1 53802 KachelY 15912 -0.56249158 1.38600441 -32.228394 79.412203
    Unten links KachelX 53801 KachelY + 1 15913 -0.56253952 1.38599561 -32.231140 79.411699
    Unten rechts KachelX + 1 53802 KachelY + 1 15913 -0.56249158 1.38599561 -32.228394 79.411699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38600441-1.38599561) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dl = 56.0648000001975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38600441-1.38599561) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dr = 56.0648000001975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56253952--0.56249158) × cos(1.38600441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183741997021758 × 6371000     		do = 56.1195354094115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56253952--0.56249158) × cos(1.38599561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183750647190292 × 6371000     		du = 56.1221773935372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38600441)-sin(1.38599561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183741997021758-0.183750647190292)×R²
    abs(-0.56249158--0.56253952)×8.65016853413003e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.65016853413003e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.65016853413003e-06×40589641000000     		ar = 3146.40459004086m²