Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53800 / 21321
↖ ↑ ↗
← N 53.090725°
E115.532227°		 ← 366.81 m → N 53.090725°
E115.537720°		 →
↑
366.84 m
↓
↑
366.84 m
↓
N 53.087426°
E115.532227°		 ← 366.84 m →
134 566 m²		 N 53.087426°
E115.537720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820930480957031 y=0.325340270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820930480957031 × 216)
    floor (0.820930480957031 × 65536)
    floor (53800.5)     		tx = 53800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325340270996094 × 216)
    floor (0.325340270996094 × 65536)
    floor (21321.5)     		ty = 21321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53800 / 21321 ti = "16/53800/21321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53800/21321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53800 ÷ 216
    53800 ÷ 65536     		x = 0.8209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21321 ÷ 216
    21321 ÷ 65536     		y = 0.325332641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8209228515625 × 2 - 1) × π
    0.641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01641775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325332641601562 × 2 - 1) × π
    0.349334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09746737990157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01641775} λ = 2.01641775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09746737990157))-π/2
    2×atan(2.99656723917433)-π/2
    2×1.24870214244937-π/2
    2.49740428489874-1.57079632675     		φ = 0.92660796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01641775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92660796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.090725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53800 KachelY 21321 2.01641775 0.92660796 115.532227 53.090725
    Oben rechts KachelX + 1 53801 KachelY 21321 2.01651362 0.92660796 115.537720 53.090725
    Unten links KachelX 53800 KachelY + 1 21322 2.01641775 0.92655038 115.532227 53.087426
    Unten rechts KachelX + 1 53801 KachelY + 1 21322 2.01651362 0.92655038 115.537720 53.087426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92660796-0.92655038) × R
    5.75800000000015e-05 × 6371000     		dl = 366.84218000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92660796-0.92655038) × R
    5.75800000000015e-05 × 6371000     		dr = 366.84218000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01641775-2.01651362) × cos(0.92660796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600549664660946 × 6371000     		do = 366.808390452499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01641775-2.01651362) × cos(0.92655038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600595703911106 × 6371000     		du = 366.836510663437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92660796)-sin(0.92655038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600549664660946-0.600595703911106)×R²
    abs(2.01651362-2.01641775)×4.60392501603346e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60392501603346e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60392501603346e-05×40589641000000     		ar = 134565.947472746m²