Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53800 / 20924
↖ ↑ ↗
← N 54.380558°
E115.532227°		 ← 355.72 m → N 54.380558°
E115.537720°		 →
↑
355.76 m
↓
↑
355.76 m
↓
N 54.377358°
E115.532227°		 ← 355.75 m →
126 555 m²		 N 54.377358°
E115.537720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820930480957031 y=0.319282531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820930480957031 × 216)
    floor (0.820930480957031 × 65536)
    floor (53800.5)     		tx = 53800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319282531738281 × 216)
    floor (0.319282531738281 × 65536)
    floor (20924.5)     		ty = 20924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53800 / 20924 ti = "16/53800/20924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53800/20924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53800 ÷ 216
    53800 ÷ 65536     		x = 0.8209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20924 ÷ 216
    20924 ÷ 65536     		y = 0.31927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8209228515625 × 2 - 1) × π
    0.641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01641775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31927490234375 × 2 - 1) × π
    0.3614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13552927819989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01641775} λ = 2.01641775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13552927819989))-π/2
    2×atan(3.1128206550893)-π/2
    2×1.25995805096413-π/2
    2.51991610192826-1.57079632675     		φ = 0.94911978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01641775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94911978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.380558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53800 KachelY 20924 2.01641775 0.94911978 115.532227 54.380558
    Oben rechts KachelX + 1 53801 KachelY 20924 2.01651362 0.94911978 115.537720 54.380558
    Unten links KachelX 53800 KachelY + 1 20925 2.01641775 0.94906394 115.532227 54.377358
    Unten rechts KachelX + 1 53801 KachelY + 1 20925 2.01651362 0.94906394 115.537720 54.377358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94911978-0.94906394) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dl = 355.756639999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94911978-0.94906394) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dr = 355.756639999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01641775-2.01651362) × cos(0.94911978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582398848626748 × 6371000     		do = 355.722094003291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01641775-2.01651362) × cos(0.94906394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582444240232341 × 6371000     		du = 355.749818640848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94911978)-sin(0.94906394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582398848626748-0.582444240232341)×R²
    abs(2.01651362-2.01641775)×4.5391605593581e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5391605593581e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5391605593581e-05×40589641000000     		ar = 126555.428581168m²