Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53800 / 13884
↖ ↑ ↗
← N 80.388230°
W 32.233886°		 ← 50.99 m → N 80.388230°
W 32.231140°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.387772°
W 32.233886°		 ← 50.99 m →
2 599 m²		 N 80.387772°
W 32.231140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410465240478516 y=0.105930328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410465240478516 × 217)
    floor (0.410465240478516 × 131072)
    floor (53800.5)     		tx = 53800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105930328369141 × 217)
    floor (0.105930328369141 × 131072)
    floor (13884.5)     		ty = 13884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53800 / 13884 ti = "17/53800/13884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53800/13884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53800 ÷ 217
    53800 ÷ 131072     		x = 0.41046142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13884 ÷ 217
    13884 ÷ 131072     		y = 0.105926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.1790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56258745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105926513671875 × 2 - 1) × π
    0.78814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47603673917514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56258745} λ = -0.56258745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47603673917514))-π/2
    2×atan(11.8940317319348)-π/2
    2×1.48691781359648-π/2
    2.97383562719296-1.57079632675     		φ = 1.40303930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56258745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.233886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40303930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.388230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53800 KachelY 13884 -0.56258745 1.40303930 -32.233886 80.388230
    Oben rechts KachelX + 1 53801 KachelY 13884 -0.56253952 1.40303930 -32.231140 80.388230
    Unten links KachelX 53800 KachelY + 1 13885 -0.56258745 1.40303130 -32.233886 80.387772
    Unten rechts KachelX + 1 53801 KachelY + 1 13885 -0.56253952 1.40303130 -32.231140 80.387772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40303930-1.40303130) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40303930-1.40303130) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56258745--0.56253952) × cos(1.40303930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166971285125057 × 6371000     		do = 50.9866905775275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56258745--0.56253952) × cos(1.40303130) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166979172813785 × 6371000     		du = 50.9890991781694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40303930)-sin(1.40303130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166971285125057-0.166979172813785)×R²
    abs(-0.56253952--0.56258745)×7.88768872778123e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.88768872778123e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.88768872778123e-06×40589641000000     		ar = 2598.75102603296m²