Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53800 / 13883
↖ ↑ ↗
← N 80.388689°
W 32.233886°		 ← 50.98 m → N 80.388689°
W 32.231140°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.388230°
W 32.233886°		 ← 50.99 m →
2 599 m²		 N 80.388230°
W 32.231140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410465240478516 y=0.105922698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410465240478516 × 217)
    floor (0.410465240478516 × 131072)
    floor (53800.5)     		tx = 53800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105922698974609 × 217)
    floor (0.105922698974609 × 131072)
    floor (13883.5)     		ty = 13883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53800 / 13883 ti = "17/53800/13883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53800/13883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53800 ÷ 217
    53800 ÷ 131072     		x = 0.41046142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13883 ÷ 217
    13883 ÷ 131072     		y = 0.105918884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.1790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56258745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105918884277344 × 2 - 1) × π
    0.788162231445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.47608467607476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56258745} λ = -0.56258745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47608467607476))-π/2
    2×atan(11.8946019086061)-π/2
    2×1.48692181554476-π/2
    2.97384363108953-1.57079632675     		φ = 1.40304730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56258745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.233886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40304730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.388689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53800 KachelY 13883 -0.56258745 1.40304730 -32.233886 80.388689
    Oben rechts KachelX + 1 53801 KachelY 13883 -0.56253952 1.40304730 -32.231140 80.388689
    Unten links KachelX 53800 KachelY + 1 13884 -0.56258745 1.40303930 -32.233886 80.388230
    Unten rechts KachelX + 1 53801 KachelY + 1 13884 -0.56253952 1.40303930 -32.231140 80.388230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40304730-1.40303930) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40304730-1.40303930) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56258745--0.56253952) × cos(1.40304730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166963397425643 × 6371000     		do = 50.9842819736224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56258745--0.56253952) × cos(1.40303930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166971285125057 × 6371000     		du = 50.9866905775275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40304730)-sin(1.40303930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166963397425643-0.166971285125057)×R²
    abs(-0.56253952--0.56258745)×7.88769941389988e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.88769941389988e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.88769941389988e-06×40589641000000     		ar = 2598.62826466384m²