Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5380 / 2818
↖ ↑ ↗
← N 81.515030°
W120.893554°		 ← 180.24 m → N 81.515030°
W120.882569°		 →
↑
180.24 m
↓
↑
180.24 m
↓
N 81.513409°
W120.893554°		 ← 180.28 m →
32 489 m²		 N 81.513409°
W120.882569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164199829101562 y=0.0860137939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164199829101562 × 215)
    floor (0.164199829101562 × 32768)
    floor (5380.5)     		tx = 5380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0860137939453125 × 215)
    floor (0.0860137939453125 × 32768)
    floor (2818.5)     		ty = 2818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5380 / 2818 ti = "15/5380/2818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5380/2818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5380 ÷ 215
    5380 ÷ 32768     		x = 0.1641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2818 ÷ 215
    2818 ÷ 32768     		y = 0.08599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10999057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08599853515625 × 2 - 1) × π
    0.8280029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60124792098273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10999057} λ = -2.10999057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60124792098273))-π/2
    2×atan(13.480550204149)-π/2
    2×1.49675099879769-π/2
    2.99350199759538-1.57079632675     		φ = 1.42270567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10999057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.893554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42270567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.515030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5380 KachelY 2818 -2.10999057 1.42270567 -120.893554 81.515030
    Oben rechts KachelX + 1 5381 KachelY 2818 -2.10979883 1.42270567 -120.882569 81.515030
    Unten links KachelX 5380 KachelY + 1 2819 -2.10999057 1.42267738 -120.893554 81.513409
    Unten rechts KachelX + 1 5381 KachelY + 1 2819 -2.10979883 1.42267738 -120.882569 81.513409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42270567-1.42267738) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dl = 180.23558999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42270567-1.42267738) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dr = 180.23558999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10999057--2.10979883) × cos(1.42270567) × R
    0.000191739999999996 × 0.147549957886518 × 6371000     		do = 180.243419482197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10999057--2.10979883) × cos(1.42267738) × R
    0.000191739999999996 × 0.147577938182221 × 6371000     		du = 180.277599527029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42270567)-sin(1.42267738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147549957886518-0.147577938182221)×R²
    abs(-2.10979883--2.10999057)×2.79802957028064e-05×R²
    0.000191739999999996×2.79802957028064e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.79802957028064e-05×40589641000000     		ar = 32489.3592865701m²