Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 538 / 350
↖ ↑ ↗
← N 75.584937°
W 85.429688°		 ← 4 865.88 m → N 75.584937°
W 85.253906°		 →
↑
4 873.11 m
↓
↑
4 873.11 m
↓
N 75.541112°
W 85.429688°		 ← 4 880.36 m →
23 747 261 m²		 N 75.541112°
W 85.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262939453125 y=0.171142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262939453125 × 211)
    floor (0.262939453125 × 2048)
    floor (538.5)     		tx = 538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171142578125 × 211)
    floor (0.171142578125 × 2048)
    floor (350.5)     		ty = 350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 538 / 350 ti = "11/538/350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/538/350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 538 ÷ 211
    538 ÷ 2048     		x = 0.2626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 350 ÷ 211
    350 ÷ 2048     		y = 0.1708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2626953125 × 2 - 1) × π
    -0.474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.49102933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1708984375 × 2 - 1) × π
    0.658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06780610201074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49102933} λ = -1.49102933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06780610201074))-π/2
    2×atan(7.90745592223974)-π/2
    2×1.44500117473785-π/2
    2.89000234947569-1.57079632675     		φ = 1.31920602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49102933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.429688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31920602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.584937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 538 KachelY 350 -1.49102933 1.31920602 -85.429688 75.584937
    Oben rechts KachelX + 1 539 KachelY 350 -1.48796136 1.31920602 -85.253906 75.584937
    Unten links KachelX 538 KachelY + 1 351 -1.49102933 1.31844113 -85.429688 75.541112
    Unten rechts KachelX + 1 539 KachelY + 1 351 -1.48796136 1.31844113 -85.253906 75.541112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31920602-1.31844113) × R
    0.000764889999999907 × 6371000     		dl = 4873.11418999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31920602-1.31844113) × R
    0.000764889999999907 × 6371000     		dr = 4873.11418999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49102933--1.48796136) × cos(1.31920602) × R
    0.00306797000000003 × 0.248944513761329 × 6371000     		do = 4865.87864456321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49102933--1.48796136) × cos(1.31844113) × R
    0.00306797000000003 × 0.249685250406381 × 6371000     		du = 4880.35711033836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31920602)-sin(1.31844113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248944513761329-0.249685250406381)×R²
    abs(-1.48796136--1.49102933)×0.000740736645052253×R²
    0.00306797000000003×0.000740736645052253×6371000²
    0.00306797000000003×0.000740736645052253×40589641000000     		ar = 23747261.0359329m²