Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53799 / 13803
↖ ↑ ↗
← N 80.425306°
W 32.236633°		 ← 50.80 m → N 80.425306°
W 32.233886°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
N 80.424849°
W 32.236633°		 ← 50.80 m →
2 580 m²		 N 80.424849°
W 32.233886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410457611083984 y=0.105312347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410457611083984 × 217)
    floor (0.410457611083984 × 131072)
    floor (53799.5)     		tx = 53799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105312347412109 × 217)
    floor (0.105312347412109 × 131072)
    floor (13803.5)     		ty = 13803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53799 / 13803 ti = "17/53799/13803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53799/13803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53799 ÷ 217
    53799 ÷ 131072     		x = 0.410453796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13803 ÷ 217
    13803 ÷ 131072     		y = 0.105308532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410453796386719 × 2 - 1) × π
    -0.179092407226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.56263539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105308532714844 × 2 - 1) × π
    0.789382934570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.47991962804437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56263539} λ = -0.56263539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47991962804437))-π/2
    2×atan(11.9403047136423)-π/2
    2×1.48724135932217-π/2
    2.97448271864433-1.57079632675     		φ = 1.40368639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56263539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.236633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40368639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.425306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53799 KachelY 13803 -0.56263539 1.40368639 -32.236633 80.425306
    Oben rechts KachelX + 1 53800 KachelY 13803 -0.56258745 1.40368639 -32.233886 80.425306
    Unten links KachelX 53799 KachelY + 1 13804 -0.56263539 1.40367842 -32.236633 80.424849
    Unten rechts KachelX + 1 53800 KachelY + 1 13804 -0.56258745 1.40367842 -32.233886 80.424849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40368639-1.40367842) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dl = 50.7768699997979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40368639-1.40367842) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dr = 50.7768699997979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56263539--0.56258745) × cos(1.40368639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166333244217475 × 6371000     		do = 50.8024542016896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56263539--0.56258745) × cos(1.40367842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166341103186887 × 6371000     		du = 50.804854533238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40368639)-sin(1.40367842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166333244217475-0.166341103186887)×R²
    abs(-0.56258745--0.56263539)×7.85896941218889e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.85896941218889e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.85896941218889e-06×40589641000000     		ar = 2579.65055333346m²