Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53798 / 20927
↖ ↑ ↗
← N 54.370959°
E115.521240°		 ← 355.81 m → N 54.370959°
E115.526733°		 →
↑
355.88 m
↓
↑
355.88 m
↓
N 54.367758°
E115.521240°		 ← 355.83 m →
126 630 m²		 N 54.367758°
E115.526733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820899963378906 y=0.319328308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820899963378906 × 216)
    floor (0.820899963378906 × 65536)
    floor (53798.5)     		tx = 53798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319328308105469 × 216)
    floor (0.319328308105469 × 65536)
    floor (20927.5)     		ty = 20927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53798 / 20927 ti = "16/53798/20927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53798/20927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53798 ÷ 216
    53798 ÷ 65536     		x = 0.820892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20927 ÷ 216
    20927 ÷ 65536     		y = 0.319320678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820892333984375 × 2 - 1) × π
    0.64178466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01622600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319320678710938 × 2 - 1) × π
    0.361358642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13524165680217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01622600} λ = 2.01622600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13524165680217))-π/2
    2×atan(3.11192547000499)-π/2
    2×1.25987428598642-π/2
    2.51974857197285-1.57079632675     		φ = 0.94895225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01622600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94895225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.370959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53798 KachelY 20927 2.01622600 0.94895225 115.521240 54.370959
    Oben rechts KachelX + 1 53799 KachelY 20927 2.01632187 0.94895225 115.526733 54.370959
    Unten links KachelX 53798 KachelY + 1 20928 2.01622600 0.94889639 115.521240 54.367758
    Unten rechts KachelX + 1 53799 KachelY + 1 20928 2.01632187 0.94889639 115.526733 54.367758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94895225-0.94889639) × R
    5.58600000000187e-05 × 6371000     		dl = 355.884060000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94895225-0.94889639) × R
    5.58600000000187e-05 × 6371000     		dr = 355.884060000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01622600-2.01632187) × cos(0.94895225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582535026123075 × 6371000     		do = 355.805269552597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01622600-2.01632187) × cos(0.94889639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582580428535012 × 6371000     		du = 355.833000790537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94895225)-sin(0.94889639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582535026123075-0.582580428535012)×R²
    abs(2.01632187-2.01622600)×4.54024119370677e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54024119370677e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54024119370677e-05×40589641000000     		ar = 126630.358483424m²